Wenn A2 =En ist, wieso ist dann mindestens eine der Zahlen ±1 Eigenwert von A?

Question

Sei A ∈ C^n×n und v ∈ Cⁿ ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ.

Wenn A² =E_n ist, wieso ist dann mindestens eine der Zahlen ±1 Eigenwert von A? Wieso gibt es keine anderen Eigenwerte?

Danke im Voraus.

Answer 1

\(p(X)=X^2-1\) liegt im Kern des Einsetzungshomomorphismus

\(\phi:\, \mathbb{C}[X]\rightarrow \mathbb{C}^{n\times n},\; \phi(p)=p(A)\),

ist daher durch das Minimalpolynom von \(A\) teilbar. Die Nullstellen

des Minimalpolynoms sind die Eigenwerte von \(A\).

Das Minimalpolynom muss also die Gestalt \(X^2-1, \; X-1\) oder \(X+1\) sein,

somit sind die Eigenwerte 1 und/oder -1.