Vektorgeometrie: Darstellungsformen von Ebenen

Question

Aufgabe:

Vektorgeometrie: Darstellungsformen von Ebenen

Problem/Ansatz:

Es geht ausschließlich um die Aufgabe b)

Ich habe mich entgegen der Musterlösung dazu entschieden, zuerst die Koordinatenform in die Parameterform und dann in die Normalenform zu bringen (frei wählbar).

Die Umwandlung zur Parameterform sollte ich auf jeden Fall korrekt gelöst haben. An diese kommt man, indem man sich 3 Punkte der Ebene berechnet, welche die Koordinatengleichung erfüllen und dann ausgehend von einem Ortsvektor noch die 2 Richtungsvektoren bestimmt.

Nun habe ich um zur Normalenform zu kommen das Kreuzprodukt meiner beiden Richtungsvektoren berechnet und anschließend wie es sich gehört den Ortsvektor meiner Parameterform und den Normalenvektor in die Normalenform eingesetzt.

Nun hat es mich aber stutzig gemacht, dass ich einen völlig anderen Normalenvektor (0/-4/0) anstatt (1/0/2) erhalte.

Ich habe bei der Parameterform meine 3 Punkte der Ebene zwar in einer anderen Konstellation als in der Musterlösung verbunden, aber das dürfte doch egal sein. Wenn ich mir den Normalenvektor mit den beiden Richtungsvektoren aus der Musterlösung berechne, komme ich auf den Vektor (0/0/0).

Ich weiß, dass man den Normalenvektor auch direkt aus der Koordinatenform ablesen könnte, aber es war ja eine Umwandlung in der Aufgabenstellung gefragt und ich würde gerne verstehen, was hier Sache ist.

Musterlösung:

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Ich habe mir nicht alle deine Rechnungen angeschaut, aber A, B und C liegen auf einer Geraden. Das ist für die Bestimmung der Ebenengleichung eher ungünstig, soweit ich weiß.

Answer 1

Du hast Punkte (Ortsvektoren) als Richtungsvektoren benutzt. Das ist verkehrt.

A(4|0|0) ; B(2|0|1) ; C(0|0|2)

AB = [-2, 0, 1]
AC = [-4, 0, 2]

Hier sollte dir jetzt auffallen, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind, also keine Ebene sondern nur eine Gerade aufspannen.

Daher musst du als C einen anderen Punkt nehmen. Und zwar einen der sich nicht nur in der x-z-Ebene befindet. Also stelle ich C mal neu auf

C(4|1|0)

AC = [0, 1, 0]

n = [-1, 0, -2] = -[1, 0, 2]

Nun sollte dir auffallen, dass du den Normalenvektor allerdings doch auch gleich aus der Koordinatenform hättest ablesen können.

Also ist die Parameterform

E: X = [4, 0, 0] + r * [-2, 0, 1] + s * [0, 1, 0]

Und die Normalenform

E: (X - [4, 0, 0]) * [1, 0, 2] = 0

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aber es war ja eine Umwandlung in der Aufgabenstellung gefragt und ich würde gerne verstehen, was hier Sache ist.

Du solltest die anderen Formen nur angeben. Was du dazu abließt und was du berechnest bleibt allein dir überlassen.

Answer 2

Aloha :)

Du hast das Kreuzprodukt der Ortsvektoren der Punkte \(B\) und \(C\) gebildet.

Du musst aber das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) bestimmen.

Das heißt, nicht der Ursprung ist der Ankerpunkt der Ebene, sondern der Punkt \(A\).

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Wenn ich mich nicht irre, habe ich doch doch aber das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren AB und AC gebildet. In der Parameterform steht hinter dem Parameter r der Richtungsvektor AB und hinter dem Parameter s der Richtungsvektor AC. Diese habe ich mit dem Kreuzprodukt verrechnet.

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Du hast die Parameterform richtig aufgestellt. Allerdings nicht das Kreuzprodukt der verwendeten Richtungsvektoren benutzt. Schau nochmal genau hin was du gemacht hast. Du hast dort dei Ortsvektoren von B und C benutzt.

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Ahhh Dankeschön, hatte ich ganz übersehen.

Aber selbst wenn ich die Richtungsvektoren AB und AC meiner verwendeten Punkte verwendet hätte, würde ich auf keine korrekte Lösung kommen, weil die 3 Punkte eine Strecke und keine Ebene abbilden. Richtig?

Vielen Dank, mit Ihrer Lösung ist einiges klar geworden

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Aber selbst wenn ich die Richtungsvektoren AB und AC meiner verwendeten Punkte verwendet hätte, würde ich auf keine korrekte Lösung kommen, weil die 3 Punkte eine Strecke und keine Ebene abbilden. Richtig?

Richtig. Die Richtungsvektoren einer Ebene müssen linear unabhängig sein.