Berechne den euklidisch normierten Tangentenvektor

Question

f:= (3x²-2x+4)_x∈ℝ 

Berechne den euklidisch normierten Tangentenvektor an den Graph der Fkt. f im Punkt (1,5).

Überlege dazu eine Kurvenparametrisierung γ:ℝ→ℝ² der Funktion und berechne dann den passenden Differentialquotienten.

Answer 1

Aloha :)

Die Punkte des Graphen werden durch folgenden Ortsvektor abgetastet:$$\vec r(x)=\binom{x}{f(x)}=\binom{x}{3x^2-2x+4}$$

Einen Tangentenvektor an der Stelle \(x\) liefert die Ableitung:$$\frac{d\vec r(x)}{dx}=\binom{1}{6x-2}\quad\implies\quad\frac{d\vec r(1)}{dx}=\binom{1}{4}$$Der normierte Tangentenvektor bei \(x=1\) ist daher:$$\vec t(1)=\frac{1}{\sqrt{17}}\binom{1}{4}$$

Answer 2

ich versuche es etwas simpel, denn die Aufgabe ist simpler als ihre Formulierung:

Die Steigung beim Punkt (1 | 5) ist 4.

Du suchst also einen Vektor \(λ\cdot \begin{pmatrix} 1\\4 \end{pmatrix} \) der Länge 1.