Beweis, dass der Ring euklidisch ist

Question

Aufgabe:

ℤ[i] = {a+bi | a,b ∈ ℤ}

N: ℤ[i] -> ℤ : N(z) = z*z´

Wobei z´die konjugiert Komplexe der Zahl z ist.

Problem/Ansatz:

Ich muss zeigen, dass es für alle x,y aus dem Ring auch ein q,r gibt, sodass folgendes gilt:

x = q*y + r und N(r) < N(y).

Ich weiß nicht, wie ich da rangehen soll.

Answer 1

siehe z.B. hier:

https://de.m.wikiversity.org/wiki/Kurs:Zahlentheorie_(Osnabrück_2008)/Vorlesung_2

Falls du Fragen dazu hast, kannst du dich gerne melden.

Comments

Das kann ich doch so aber nicht anwenden. Bei uns sollten wir auch prüfen, dass N (a/b  -  q) <= 1/2 ist. Also, dass es solch ein q gibt. Dieses q kann ich ja angeben, nachdem ich a/b etwas umforme aber, ich kann ja nicht davon ausgehen, dass der Bruch in Z liegt, also kann icha uch meine Funktion nicht darauf anwenden oder?

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Wie kann ich das denn dann machen, wenn mein Element ja aus Q ist und nicht aus Z ?


MfG

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Sorry für die späte Antwort. Du kannst doch die Norm einfach auf den Ring Q(i) erweitern und dann auch mit rationalen Zahlen rechnen. Wichtig ist eigentlich nur, dass dein Ergebnis später in Z[i] liegt.

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Gibt es keinen anderen weg ? Ich glaube nämlich nicht, dass ich die Aufgabe so lösen soll.

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Außerdem liegt das Ergebnis dann ja auch nicht unbedingt in Z wenn q_1 und q_2 in Q liegen.

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Also mir fällt spontan jetzt kein anderer Weg ein der ähnlich einfach ist. Aber doch das Ergebnis liegt ganz sicher in Z[i], das ist ja gerade der Witz an der Sache.

Da steht dann w/z = q1 + q2 *i

=> w = z(q1 + q2 * i)

Also ist die rechte Seite auch in Z[i].

In dem Beweis kommst du dann irgendwann auf

w=z(a1+a2 * i) + z(q1-a1 + (q2 - a2)*i)

a1, a2 sind in z, also ist dein

q = a1 + a2 * i

Und dein r:

r = z(q1-a1 + (q2 - a2)*i)

= z(q1 + q2 *i ) - z(a1 + a2 * i)

Der Minuend ist in Z[i], Subtrahend auch, also auch die Differenz.