Untersuchung der 2 Folgen auf Konvergenz

Question

Definition von Konvergenz von Folgen:
Eine Folge (a_n)n∈ℕ reeller Zahlen ist genau dann konvergent gegen einen Grenzwert a, wenn ∀ ℇ > 0 ∃n₀ ∈ ℕ so, dass ∀n ∈ ℕ mit n ≥ n₀ |a_n − a| < ℇ gilt.

Aufgabe

Untersuchen Sie mit der Definition die beiden Folgen (a_n)n∈ℕ und (b_n)n∈ℕ definiert
durch a_n = \( \sqrt{n} \)  und b_n = \( \frac{n^3-2}{4n^3+1} \)  auf Konvergenz.

Answer 1

Die Folge a_n = \( \sqrt{n} \) hat keinen Grenzwert, denn die Wurzelfunktion ist monoton wachsend.

Die Folge b_n = \( \frac{n^3-2}{4n^3+1} \) hat offensichtlich den Grenzwert \( \frac{1}{4} \). Angenommen für ein m € N gilt

\( | \frac{ m^3 -2 }{4m^3+1} - \frac{1}{4} | < ℇ \)    gleichbedeutend mit \( | \frac{9}{16m^3+4}| < ℇ \)

Das Epsilon-Kriterium gilt dann auch für alle n > m.

Comments

Dass eine Folge monoton wachsend ist, bedeutet wohl kaum, dass sie keinen Grenzwert hat.