Berechnen Sie die Höhe des Balls nach dem 5. Aufprall

Question

Aufgabe:

Frieder lässt einen Ball aus 2m Höhe auf einen festen Boden fallen.
Der Ball springt nach jedem Aufprall jeweils auf 90 % der Höhe zurück, aus welcher er
gefallen ist. Berechnen Sie die Höhe des Balls nach dem 5. bzw. 8. Aufprall.
Geben Sie den Funktionsterm f (n) an, der die Höhe nach dem n-ten Aufprall angibt.

Problem/Ansatz:

Ich hätte gesagt die Funktion würde f(n)=2*1,9^n lautet

Answer 1

Die Funktion lautet

      \(f(x) = 2\cdot 0{,}9^x\)

Comments

Und wie kommen wir auf 0,9 und weshalb ?

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Bei jedem Aufprall bleibt nur 90% der Sprunghöhe von dem Aufprall davor übrig. Du musst die 90 durch einhundert teilen und damit multiplizieren um jeweils die neue sprunghöhe auszurechnen. Also 90/100=0,9.

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Ich hätte gedacht man müsste die 0,9 mit 1 addieren, wegen dem Wachstumsfaktor

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Die Höhe nimmt bei jedem Aufprall um 10% ab. Daher auch 1 - 0.1 = 0.9

1 + 0.9 = 1.9 würde bedeuten: Die Höhe nimmt bei jedem Aufprall um 90% zu.

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Bei exponentialfunktionen spricht man oft von Wachstum oder Zerfall. Das Beispiel hier ist sowas wie Zerfall.

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Und wie kommen wir auf 0,9 und weshalb ?

In der allgemeinen Gleichung

        \(f(x) = a\cdot q^x\)

gibt der Wachstumsfaktor \(q\) an, womit man den Anfangsbestand \(a\) multiplizieren muss, um den nächsten Bestand zu bekommen.

Beispiel 1. Der Bestand wächst täglich um 5 %. Dann hat man nach einem Tag einen Bestand von 100% + 5% = 105% des ursprünglichen Bestandes, also das 1,05-fache. \(q = 1{,}05\).

Beispiel 2. Der Bestand nimmt jedes Jahr um 25 % ab. Dann hat man nach einem Jahr einen Bestand von 100% - 25% = 75%, also das 0,75-fache. \(q = 0{,}75\).

Beispiel 3. Der Bestand verdreifacht sich jeden Monat. Dann hat man nach einem Monat das 3-fache. \(q = 3\).

Beispiel 4. Der Bestand nimmt jede Stunde auf 1/8 ab. Dann hat man nach eine Stunde das 0,125-fache. \(q = 0{,}125\).

Schau dir insbesondere an, wann addiert wurde, wann subtrahiert wurde und wann weder noch.

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Schade dass man keine Daumen für Kommentare spendieren kann.

Answer 2

f(n) = 2·0.9^n

Hier eine Wertetabelle mit den erreichten Höhen nach dem n. Aufprall.

[n, f(n);
0, 2;
1, 1.8;
2, 1.62;
3, 1.46;
4, 1.31;
5, 1.18; → Nach dem 5. Aufprall
6, 1.06;
7, 0.96;
8, 0.86; → Nach dem 8. Aufprall
9, 0.77;
10, 0.70]

Hier eine Skizze

Answer 3

Ich hätte gesagt die Funktion würde f(n)=2*1,9ⁿ lautet

Setze n = 5 und n = 8 in Deine Funktion ein und überlege, ob das Ergebnis sinnvoll ist.