Zeigen Sie, die Matrixdarstellung in Abhängigkeit von z

Question

Wir fassen \( \mathbb{C} \) als \( \mathbb{R} \)-Vektorraum mit Basis \( \mathcal{V}:=(1, i) \) auf und definieren mithilfe der komplexen Multiplikation für \( z \in \mathbb{C} \) die \( \mathbb{R} \)-lineare Abbildung

\( f_{z}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \quad w \mapsto z \cdot w . \)
a) Geben Sie, in Abhängigkeit von \( z \), die Matrixdarstellung \( F_{z} \) von \( f_{z} \) bezüglich der Basis \( \mathcal{V} \) an.
b) Zeigen Sie, dass
\( F: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}^{2,2}, z \mapsto F(z)=F_{z} \)
eine \( \mathbb{R} \)-lineare Abbildung ist.
c) Geben Sie die Matrixdarstellung \( A_{\mathcal{B}}^{\mathcal{V}} \) von \( F \) an, wobei
\( \mathcal{B}=\left(B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}\right)=\left(\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\right) \)
d) Zeigen Sie, dass \( F \) injektiv ist.

Answer 1

a)  Es sei z=a+bi

Dann ist f_z(1)=a+bi und f_z(i)=-b+ai also die Matrix

\( \left(\begin{array}{ll}  a & b \\ -b & a \end{array}\right)   \)

b) Es ist \( F_0 =  \left(\begin{array}{ll}  0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)    \)

und \( F_{z_1+z_2}  =  F_{z_1}  +  F_{z_2} \)

und \( F_{x \cdot z}  = x \cdot F_{z}   \)  für x ∈ℝ , also ℝ-linear.

c)  Es ist 1 = 1 + 0i also F(1)= \( \left(\begin{array}{ll}  1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)   =B_1 + B_4 \)

und i = 0 + 1*i also F(i)=\(  \left(\begin{array}{ll}  0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)   = B_2 +(-1)B_3 \)

==> \( A_{\mathcal{B}}^{\mathcal{V}} =  \left(\begin{array}{ll}  1 & 0 \\ 0 & 1\\ 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)  \)

d) injektiv, da Kern(F)={0}.

Comments

Soll die Matrix in diesem Fall nicht transponiert sein? Also

(a -b

b a)