Aufgabe:
Beweisen oder widerlegen Sie:
a) Eine Menge M ⊂ R ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplementen M^c =R \ M offen ist.
b) Jede Menge ist offen, abgeschlossen oder abgeschloffen (also sowohl offen als auch abgeschlossen).
Text erkannt:
(a) Bears: se zwerst \( M \) abgeschlossen in \( \mathbb{R} \)
1. Fell: wemn \( M_{-\mathbb{R}} \) (abgeschlossene Menge) dam \( \mu^{c}=\varnothing, \varnothing \) ist oftine Menge
2. Fall: Wenn \( M \) eine echie Telmenge von \( R \) ist, \( \operatorname{dan} \mu^{c} \neq \varnothing . \)
se \( x \in M^{c} \), dann \( M \) ist abgexhlossen und \( x \notin M \)
\( \Rightarrow X \) ist ken Grenzmert ven \( M \)
\( \Rightarrow(x-\varepsilon, x+\varepsilon) \leq M^{c} \), also \( x \) ist inferior von \( M^{c} \) und \( \mu^{c} \) ist offene Menge.
Be der 1. und2. Fall ist \( M^{c} \) offene Menge.
Nun nehmen wir an, dass \( M \) often is \( t \) :
1. Fall: \( M=\mathbb{R} \Rightarrow M^{c}=\varnothing \) und \( \varnothing \) ist abgeschbssen und \( M^{c} \) ist wuch abgeschlossen.
oder \( M=\varnothing \Rightarrow M^{c}=\mathbb{R}_{\text {, es ist also abgeschloffen. }}^{\text {, }} \).
2.Fall: Wenn \( M \) eine eotre Teilmenge ven \( \mathbb{R} \) ist: se \( x \in M \) und \( M \) ist offen \( \Rightarrow x \) ist \( \ln \) ferior
\( \Rightarrow(x-\varepsilon, x+\varepsilon) \leq M \)
\( \Rightarrow(x-\varepsilon, x+\varepsilon) \cap M^{c}=\varnothing \), also \( x \) ist ken Gremweet ven \( M^{c} \)
\( \Rightarrow \) seder Gremenert von \( M^{c} \) gehort we \( M^{c} \)
\( \Rightarrow \mu^{c} \) ist abgeschlossen.
Daher ist \( \mu^{c} \) genau dann often, wenn \( m \) abgeschlossen ist.
b) jede Menge ist offen, abgeschlossen oder abgeschloffen. Nein, weil \( A=(0,1] \) ist weder often noch abgeschiossen.
Wären Sie nett und überprüfen Sie bitte meine Lösungen? Das bedeutet viel für mich.
Vielen Dank im Voraus.
