Zeige, dass das charakteristische Polynom einer nilpotenten Matrix in Linearfaktoren zerfällt.

Question

Aufgabe:

Hey Leute, ich habe eine Frage:

Ich will zeigen, dass das charakteristische Polynom einer nilpotenten Matrix A∈K^nxn in Linearfaktoren zerfällt.

Dafür habe ich erstmal gezeigt, dass A nur den Eigenwert 0 besitzt. Daraus kann ich doch folgern, dass das charakteristische Polynom p(x) = (x-0)^a = x^a ist. Nur wie zeige ich, dass a = n sein muss? Habe online einiges vom algebraischen Abschluss gelesen, jedoch haben wir diesen noch nicht behandelt.

Ich würde mich über Hilfe freuen. :)

Answer 1

Das charakteristische Polynom einer \( n \times n \) Matrix \( \boldsymbol{A} \) hat immer Grad \( n \), wegen
\( \begin{aligned} p_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \mathbf{I}) &=\sum \limits_{\sigma \in S_{n}} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod \limits_{i=1}^{n}(\boldsymbol{A}-\lambda \mathbf{I})_{i, \sigma(i)} \\ &=\prod_{i = 1}^n (\mathbf{A})_{i, i} - \lambda)+\sum \limits_{\sigma \in S_{n} \backslash\{\mathrm{id}\}} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod \limits_{i=1}^{n}(\boldsymbol{A}-\lambda \mathbf{I})_{i, \sigma(i)} .\\&= (-\lambda)^n + \cdots\end{aligned}\)