Zeigen Sie mithilfe des Zwischenwertsatzes, dass die Gleichung eine reelle Losung besitzt.

Question

Aufgabe:

e^-x×ln(1+e^x)×(x²-2x)-\( \frac{x-1}{x+1} \) = 0

Zeigen Sie mithilfe des Zwischenwertsatzes, dass die Gleichung eine reelle Losung besitzt. Denken Sie auch
daran, alle Voraussetzungen zur Anwendung des Zwischenwertsatzes zu uberprüfen.

Problem/Ansatz:

Die Gleichung ist: f(x) = e^-x×ln(1+e^x)×(x²-2x)-\( \frac{x-1}{x+1} \)

∃c∈ℝ : f(c) = 0 = λ

Der Zwischenwertsatz besagt:

a,b∈ℝ, a ≤ b , f:[a,b] → ℝ stetig

λ zwischen f(a) und f(b), dann existiert c∈[a,b] mit f(c) = λ

Habe jetzt beispielsweise a = 0 genommen

f(0) = e⁰×ln(1+e⁰)×(0²-(2*0))-\( \frac{0-1}{0+1} \) = 1

Für b = 1

f(1) = e^1×ln(1+e^1)×(1²-(2*1))-\( \frac{0-1}{0+1} \) = -0,4831219757

Bin ich auf dem richtigen Weg?

Answer 1

Hallo

warum allgemein λ und nicht gleich 0?

aber richtig ist dann ein x finden mit f(x)<0 und eines mit f(x)>0  nur dürfen die nicht die Unstetigkeitsstelle x=-1 enthalten.  Also ist dein vorgehen richtig, wenn du dazuschreibst dass f(x) zwischen 0 und 1 stetig ist,

Gruß lul

Comments

Ok, hört sich gut an. Werde mich melden, falls sich ein Monster in den Weg stellt.☺

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Frage: Macht man jetzt einfach so lange eine Intervallschachtelung bis man auf das Ergebnis kommt?

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Hallo

du sollst ja nur zeigen, dass es eine Nullstelle  gibt, nicht die bestimmen. Falls du das wolltest kannst du es mit einer Intervallschachtelung machen, immer die Mitte nehmen, dann wider di Mitte immer zwischen positivem und negativen Wert, die Methode heisst "regula falsifizieren" es gibt schnellere Methoden, aber die hattet ihr wahrscheinlich noch nicht.

Gruß lul

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Achso ok. Ich soll ja nur zeigen, dass die Gleichung eine reelle Lösung hat.

Die Funktion is ja stetig, sprich der Zwischenwertsatz ist anwendbar.

a = 0 , b = 1

f(0) = 1 und f(1) ≈ -0,483

b > a und f(a) > f(b) und f(a) > 0 > f(b).

Reichen die zwei Dinge (Stetigkeit und a,b) schon aus um zu beweisen, dass die Funktion eine reelle Nullstelle haben muss?

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nicht die Funktion ist stetig, das ist sie NICHT in ganz R, aber sie ist stetig in [0,1] und nur das wird benutzt.

brauchen tut man dann nur noch f(0)>0,f(1)<0 also liegt dazwischen ein Wert f(x1)=0  mit 0<x1<1

es ist unnötig noch a,b einzuführen,(aber nicht falsch, es macht es aber schwerer zu überblicken, was gemacht wird.

Gruß lul

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Ok knorke.

Vielen Dank!