Stetigkeit in (0,0) prüfen

Question

Aufgabe:

f: ℝ² → ℝ, f(x,y) := \( \frac{x⁵}{x⁴ + y⁴} \)  für (x,y) != (0,0), 0 für (x,y) = (0,0)

Überprüfen Sie, ob f in (0,0) stetig ist.

Problem/Ansatz:

Erster Ansatz: Winkelhabierende: y = x

x != 0: f(x,x) = \( \frac{x⁵}{x⁴ + x⁴} \)  = \( \frac{x⁵}{2x⁴} \) = \( \frac{x}{2} \) => { + ∞, - ∞}

+ ∞: x ↑ 0, -∞: x ↓ 0. => f nicht stetig in (0,0).

Zweiter Ansatz: Mit Polarkoordinaten: x = r * cos(φ), y = r * sin(φ)

f(x,y)=\( \frac{r⁵ * cos⁵(φ) }{r⁴ * (cos⁴(φ) + sin⁴(φ)) }  \) =\( \frac{r * cos⁵(φ) }{(cos4(φ) + sin4(φ) }  \) und für r gegen 0, würde der Zähler ja 0 werden und somit der ganze Bruch gegen 0, und somit wäre laut dem zweiten Ansatz f in 0,0 stetig, oder nicht? Oder habe ich etwas falsch gemacht?

Answer 1

In deinem ersten Ansatz erhältst du x/2.

Wenn du dich dem Punkt (0|0) annäherst, geht x und damit x/2 gegen 0.

Deine Schlussfolgerung auf

{ + ∞, - ∞} 

ist mir schleierhaft...

Comments

Aber für x gegen 0 meinst du? Muss man nicht für x gegen plus unendlich und x gegen minus unendlich prüfen?

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Sollte ich etwa überlesen haben, dass die Aufgabe die Stetigkeit im "Punkt" (∞,∞) fordert???

Ich lese nach wie vor

Überprüfen Sie, ob f in (0,0) stetig ist.

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Stimmt.... dankeschön!!!!

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Damit ist die Stetigkeit aber noch nicht gezeigt.

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aber mit Polarkoordinaten dann!

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Wenn du nachweisen kannst, dass es IN JEDEM ERDENKLICHEN Fall (auch für "seltsame" Winkel) gegen 0 geht...

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Ja, und das macht man doch mit Polarkoordinaten. Dann geht es von jeder richtung quais von einem Kreis drum herum, gegen den Nullpunkt.

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Dass das (welches die Gestalt eines Bruchs hat) gegen 0 geht, hast du BEHAUPTET. Gilt das tatsächlich IMMER?

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Im zweiten Ansatz von mir, für r gegen 0, doch schon, oder? Zähler geht gegen 0, also auch der Bruch.

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Zähler geht gegen 0, also auch der Bruch.

Nach dieser deiner "Logik"

\( \frac{x}{x} (=1)\) geht gegen 0, wenn der Zähler x gegen 0 geht ???

\( \frac{x}{x^2}( =\frac{1}{x})\) geht gegen 0, wenn x gegen 0 geht ???

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Du hast Recht. Wo liegt mein (Denk-)-Fehler, wie wäre es richtig? Wie argumentiere ich mit Polarkoordinaten?

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Du bist aus dem Schneider, wenn du begründen kannst, dass der Nenner \(cos^4(φ) + sin^4(φ) \) sowieso nie 0 werden kann.

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cos^4 + sin^4 > 0, immer?

Ich hab überlegt, das auch anders zu zeigen, mit polarkoordinaten. Ich kann ja auch für x = \( \sqrt{r * cos(phi)} \)  und für y analog mit sinus setzen. Dann hätte ich später im nenner ne 1 und im Zähler r^1/2 * sin^5/2(phi), was für r gegen 0 auch gegen 0 geht?

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cos^4 + sin^4 > 0, immer?

Warum immer?

Ich kann ja auch für x = \( \sqrt{r * cos(phi)} \)      

               Nein, die Wurzel hat hier nichts zu suchen.

Bleibe bei "Warum immer cos^4 + sin^4 > 0".

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Wie warum? Etwas ganz nah an der null mal irgendetwas geht doch auch gegen 0. Oder was mache ich die ganze zeit falsch

Ich steh aufm schlauch.

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Etwas ganz nah an der null mal irgendetwas geht doch auch gegen 0.

Nein. Wenn dieses Irgendwas gegen Unendlich geht, ist alles möglich.

Halten wir mal fest:

cos^4(x) kann durchaus 0 werden (wann?).

sin^4(x) kann auch durchaus 0 werden (wann?).

Aber warum kann die Summe nicht 0 werden?

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Ich weiss es wirklich nicht. Wie kann denn die Summe von zwei Summanden, die jeweils einzeln nicht null werden, null werden?

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die jeweils einzeln nicht null werden,

WER SAGT DAS?

Ich schrieb:

cos^4(x) kann durchaus 0 werden (wann?)

sin^4(x) kann auch durchaus 0 werden (wann?)

Übrigens ist die Summe 33+(-33) auch 0, obwohl keiner der Summanden 0 ist.

Du hast da einige argumentative Baustellen.

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Diese Baustellen muss ich wohl schnellstmöglich loswerden.

cos^4(1) = 0.085

sin^4(0)

Aber was habe ich jetzt davon?

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Aber was habe ich jetzt davon?

Gar nichts, weil niemand von dir verlangt hat, den Kosinus an der Stelle 1 zu berechnen.

Fakt ist: Die vierte Potenz von was auch immer wird nie negativ. Der Nenner könnte also höchstens dann 0 werden, wenn sowohl der Kosinus als auch der Sinus (gleichzeitig) 0 werden.

Geht das oder geht das nicht?

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Nein, da der winkel ja für beide gleich wäre und somit entweder sin oder kos gleich 0?

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Wenn der Sinus 0 ist, ist der Kosinus 1 oder -1!

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Das ist also die Argumentation? Also ist f nicht stetig in (0,0) !?

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Aber selbst wenn der Nenner nicht null wird. Der zähler wird doch null, für r gegen 0, oder nicht? oder nähert r sich nur der null ganz nah ran, sodass der zähler auch nie ganz null wird?

Also geht f in (0,0) gegen unendlich, da der nenner nie null wird, und der gesamte bruch für r gegen 0 zwar immer kleiner (da der zähler kleiner wird, als der nenner), also der gesamte bruch gegen unendlich?