geometrische Reihe; Konvergenzradius von Potenzreihen

Question

Aufgabe:

1.) Mit Hilfe der geometrische Reihe entwickle man die Funktion   f: ℝ\ {\( \frac{1}{2} \) } → ℝ, f(x)=\( \frac{x²}{2-4*x} \)

in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x₀=0 und gebe auch den Konvergenzradius der Entwicklung an. Geben Die dann das Taylorpolynom 5. Ordnung von f an der Entwicklungsstelle x₀= 0 an.

2.) Berechne den Konvergenzradius r der Potenzreihe  \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ (\sqrt{n}/n!) } \) (x-3)ⁿ

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte bei den beiden Aufgaben eure Unterstützung. Mit dem Konvergenzradius bin ich noch nicht so vertraut.

Answer 1

Zu 1)$$f(x)=\frac{1}{2}x^2\frac{1}{1-2x}=\frac{1}{2}x^2\sum_{n=0}^{\infty}(2x)^n$$Konvergiert für \(|2x|<1\), also \(|x|\lt 1/2\).

Bei x=1/2 "stößt der Konvergenzkreis gegen den Pol 1/2 der rationalen Funktion".

Answer 2

2) Hier ist wohl Quotientenkriterium günstig.

s. https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius

\( \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{ \frac{\sqrt{n}}{n!} }{ \frac{\sqrt{n+1}}{(n+1)!} } =    \frac{\sqrt{n}\cdot(n+1)!}{n!\cdot \sqrt{n+1}} =  \frac{\sqrt{n}\cdot(n+1)}{\sqrt{n+1}} \)

und das geht gegen unendlich, also r=∞.