Hallo,
ich kann den Zettel auch nicht entwirren. Die letzte Zeile auf dem zweiten Blatt ist sicher falsch.
Da ist wohl aus einem \(x\) ein \(x^2\) geworden \(2x+\frac12x^2 = \frac52x^2\) ?
Die Ableitungen und die Werte am Entwicklungspunkt (2,-1) sind: $$f(x,y)=y^{2}e^{2-x}+x\cos\left(y+1\right) \\ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= -y^2e^{2-x} + \cos\left(y+1\right) &&\to 0\\ \frac{\partial f}{\partial y} &= 2ye^{2-x} - x\sin(y+1) &&\to -2\\ \frac{\partial^2 f}{(\partial x)^2} &= y^2e^{2-x} &&\to 1\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} &= -2ye^{2-x} - \sin\left(y+1\right) &&\to 2\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} &= -2ye^{2-x} - \sin(y+1) &&\to 2\\ \frac{\partial^2 f}{(\partial y)^2} &= 2e^{2-x} - x\cos(y+1) &&\to 0\\ \end{aligned}$$Damit ergibt sich die Taylorfunktion$$T(x,y) = 3-2\left(y+1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x-2\right)^{2}+4\left(x-2\right)\left(y+1\right)\right)$$zur Kontrolle habe ich das in Desmos gegossen. Desmos kann zwar keine 2-dimensionalen Funkionen plotten, aber deren Höhenlinien:
https://www.desmos.com/calculator/qqcaogebyv
Die grünen sind die Höhenlinien von \(f(x,y)\) in der Umgebung von \(f=3\) und die roten sind die der Funktion \(T(x,y)\). Und man sieht, dass diese sehr gut in der Umgebung von (2,-1) übereinander liegen.
Klicke auf das Desmos-Symbol unten rechts im Bild. Dann kannst Du das Script sehen und wenn Du auf den roten Button in der letzten Zeile klickst kannst Du \(T(x,y)\) ein- und ausschalten. Mit dem Schieber \(d=...\) kann man das Delta der Höhenlinien variieren.
Gruß Werner
