Taylorpolynom zweiten Grades im Entwicklungspunkt (2, -1) ausrechnen.

Question

Aufgabe: Taylorpolynom zweiten Grades im Entwicklungspunkt (2, -1) ausrechnen.

Ist meine Lösung auf den Bildern so richtig?

Problem/Ansatz:

Comments

so einen langen Zettel zu lesen und zu durchschauen ist wohl nicht die Aufgabe von Helfern, vergleiche doch mit Mitstudis, deshalb studiert man doch nicht einsam sondern mit vielen,

ich schreib das als Kommentar, weil ich niemand daran hindern will es trotzdem zu versuchen.

also viel Glück mit dem Versuch

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Entschuldigung, Recht hast du ja. Mitstudis machen auch nicht immer alles richtig und haben oftmals sogar den selben Fehler. Daher wollte ich auf Nummer sicher gehen, da mir hier schon oft geholfen wurde.

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Ih kann vor allem die Funktion nicht richtig erkennen. Schreib die mal leserlichh auf.

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y² * e^2-x + x * cos(y+1) und Entwicklungspunkt (2, -1)

Answer 1

Hallo,

ich kann den Zettel auch nicht entwirren. Die letzte Zeile auf dem zweiten Blatt ist sicher falsch.

Da ist wohl aus einem $x$ ein $x^2$ geworden $2x+\frac12x^2 = \frac52x^2$ ?

Die Ableitungen und die Werte am Entwicklungspunkt (2,-1) sind: $$f(x,y)=y^{2}e^{2-x}+x\cos\left(y+1\right) \\ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= -y^2e^{2-x} + \cos\left(y+1\right) &&\to 0\\ \frac{\partial f}{\partial y} &= 2ye^{2-x} - x\sin(y+1) &&\to -2\\ \frac{\partial^2 f}{(\partial x)^2} &= y^2e^{2-x} &&\to 1\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} &= -2ye^{2-x} - \sin\left(y+1\right) &&\to 2\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} &= -2ye^{2-x} - \sin(y+1) &&\to 2\\ \frac{\partial^2 f}{(\partial y)^2} &= 2e^{2-x} - x\cos(y+1) &&\to 0\\ \end{aligned}$$Damit ergibt sich die Taylorfunktion$$T(x,y) = 3-2\left(y+1\right)+\frac{1}{2}\left(\left(x-2\right)^{2}+4\left(x-2\right)\left(y+1\right)\right)$$zur Kontrolle habe ich das in Desmos gegossen. Desmos kann zwar keine 2-dimensionalen Funkionen plotten, aber deren Höhenlinien:

Die grünen sind die Höhenlinien von $f(x,y)$ in der Umgebung von $f=3$ und die roten sind die der Funktion $T(x,y)$. Und man sieht, dass diese sehr gut in der Umgebung von (2,-1) übereinander liegen.

Klicke auf das Desmos-Symbol unten rechts im Bild. Dann kannst Du das Script sehen und wenn Du auf den roten Button in der letzten Zeile klickst kannst Du $T(x,y)$ ein- und ausschalten. Mit dem Schieber $d=...$ kann man das Delta der Höhenlinien variieren.

Gruß Werner

Comments

f(2,-1) + <∇f(2,-1), $\begin{pmatrix} x-2\\y+1 \end{pmatrix}$> +1/2 * <Hf(2,-1)  $\begin{pmatrix} x-2\\y+1 \end{pmatrix}$,$\begin{pmatrix} x-2\\y+1 \end{pmatrix}$>

Stimmt diese?

Nein - die erste Ableitung und der Vektor $\operatorname{grad}(f(2,-1))$ sind zu transponieren. Also$$T(x,y) = f(\vec x_0) + \operatorname{grad}(f(\vec x_0))^T (\vec x-\vec x_0) + \frac12(\vec x-\vec x_0)^T \cdot H(x_0) \cdot (\vec x-\vec x_0) \\ \quad = 3 + \begin{pmatrix}0\\ -2\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}x-2\\ y+1\end{pmatrix} + \frac12\begin{pmatrix}x-2\\ y+1\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}1& 2\\ 2& 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-2\\ y+1\end{pmatrix}$$

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Hallo Werner,

Dein und mein Ergebnis sind identisch. Also wird's wohl stimmen.

Answer 2

Du kannst Deinen Aufschrieb ja mal mit dem hier abgleichen

Ich meine mindestens bei $f_{yy}$ einen Fehler gesehen zu haben.

Comments

Die Ableitungen habe ich gerade alle überprüft, die stimmen alle. Ich habe irgendwo wohl einen Rechenfehler, weiß aber nicht wo.

Mir fehlt aber ein Teil der Formel, glaube ich.

Ich habe mit dieser gerechnet:

f(2,-1) + <∇_f(2,-1), $\begin{pmatrix} x-2\\y+1 \end{pmatrix}$> +1/2 * <H_f(2,-1)  $\begin{pmatrix} x-2\\y+1 \end{pmatrix}$,$\begin{pmatrix} x-2\\y+1 \end{pmatrix}$>

Stimmt diese?

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Kannst Du doch alles dem CAS System entnehmen.

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Was ist denn das CAS System?

bin nun nach neuem Rechnen auch auf das richtige Ergebnis gekommen.

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Das CAS System ist bei mir Zuhause. Das gibts nicht öffentlich. Vielleicht kann man das mit Wolfram Alpha prüfen.