Aloha :)
Hier würde ich die \(\delta\)-Funktionen ersetzen. Allgemein gilt:$$\delta(\varphi(x))=\sum\limits_i\frac{1}{\left|\varphi'(x_i)\right|}\delta(x-x_i)$$wobei \(x_i\) die einfachen Nullstellen von \(\varphi(x)\) sind. Das heißt:$$\delta(3x)=\frac13\delta(x)\quad;\quad\delta(z^2-1)=\frac{1}{2}\delta(z-1)+\frac12\delta(z+1)$$
Damit schreibst du die Integrale um:$$\phantom{=}\int\limits_{-1}^\infty dx\int\limits_0^\infty dy\int\limits_0^\infty dz\,(x-4)^2y^3z^4\delta(3x)\delta(y-2)\delta(z^2-1)$$$$=\int\limits_{-1}^\infty (x-4)^2\delta(3x)\,dx\cdot\int\limits_0^\infty y^3\delta(y-2)dy\cdot\int\limits_0^\infty z^4\delta(z^2-1)\,dz$$$$=\int\limits_{-1}^\infty (x-4)^2\frac13\delta(x)\,dx\cdot\int\limits_0^\infty y^3\delta(y-2)dy\cdot\int\limits_0^\infty z^4\left(\frac12\delta(z-1)+\frac12\delta(z+1)\right)dz$$Prüfe, wo im Integrationsbereich (!) das Argument der \(\delta\)-Funktion gleich Null ist:$$x=0\quad;\quad y=2\quad;\quad z=1$$Diese Werte setzt du in die Integranden ein:$$=\left((0-4)^2\cdot\frac13\right)\cdot\left(2^3\right)\cdot\left(1^4\cdot\frac12\right)=\frac{16}{3}\cdot8\cdot\frac12=\frac{64}{3}$$
