Berechnen Sie die Arbeit W der Kraft (Vektorfeld)

Question

Aufgabe:Berechnen Sie die Arbeit \( W \) der Kraft (Vektorfeld)
\( \vec{F}(x, y, z)=(x, y, x+y-1) \)
entlang der Geraden zwischen dem Punkt \( (1,1,1) \) und dem Punkt (2,3,4). Zu berechnen ist das Kurvenintegral
\( \int \limits_{C} \vec{F} d \vec{s}:=\int \limits_{a}^{b}\langle\vec{F}(\vec{x}(t)), \dot{\vec{x}}(t)\rangle d t \)
Hinweis: Stellen Sie die Gerade in Parameterform dar: \( \vec{x}(t)=(x(t), y(t), z(t)) \). \( a \leq t \leq b \).
Antwort: 13

Text erkannt:

Problem/Ansatz:

Bekomme immer das falsche raus bitte um hilfe

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen auf einer Geraden von \((1|1|1)\) nach \((2|3|4)\) durch das Kraftfeld$$\vec F=\begin{pmatrix}x\\y\\x+y-1\end{pmatrix}$$laufen. Diesen Weg können wir durch eine Geradengleichung parametrisieren:$$C\colon\;\vec r=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+t\\1+2t\\1+3t\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0;1]$$

Die dafür benötigte Energie wird durch das gesuchte Kurvenintegral beschrieben:$$E=\int\limits_C\vec F\,d\vec r=\int\limits_0^1 \vec F(\vec r(t))\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\begin{pmatrix}1+t\\1+2t\\(1+t)+(1+2t)-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^1\left((1+t)+2(1+2t)+3(1+3t)\right)dt=\int\limits_0^1(14t+6)dt$$$$\phantom{E}=\left[7t^2+6t\right]_0^1=7+6=13$$

Comments

Danke du bist wirklich einer der coolsten Leute im Internet