Aufgaben zur Orthogonalität

Question

Aufgabe 1

a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis (bzgl. des Euklidischen Skalarproduktes \( \langle\cdot, \cdot\rangle_{2} \) ) des von den Vektoren
\( v_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right), v_{4}=\left(\begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \)
aufgespannten Untervektorraums \( V:=\operatorname{spann}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right) \). Bestimmen Sie die Fourierentwicklung von \( x=(3,4,3,0,2)^{T} \) sowie die orthogonale Projektion von \( y=(1,1,1,1,1)^{T} \) in \( V \)

b) Es sei \( \mathbb{R}^{3} \) mit dem Skalarprodukt \( \langle u, v\rangle_{W}:=u_{1} v_{1}+2 u_{2} v_{2}+3 u_{3} v_{3} \) für \( u=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)^{\top} \) und \( v=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)^{\top} \) gegeben. Bestimmen Sie aus
\( x_{1}=(1,1,1)^{\top}, \quad x_{2}=(1,1,0)^{\top}, \quad x_{3}=(1,0,0)^{\top} \)
mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthonormalbasis von \( \mathbb{R}^{3} \) bezüglich \( \langle\cdot, \cdot\rangle_{W} \).

c) Sei \( (V,\langle., .\rangle) \) ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum und \( \mathcal{W} \) ein Orthonormalsystem von \( V \). Beweisen Sie:
\( \mathcal{W} \) ist eine Orthonormalbasis von \( V \Rightarrow \) Ist \( x \in V \) und \( x \perp \mathcal{W} \), so ist \( x=0 \)

Comments

Evtl. ein etwas ausführlichere Antwort, als die von unserem Kollegen "lul".

Danke im voraus

Answer 1

Hallo

fang doch einfach mal mit dem Gram Schmidt Verfahren an, das ist fast nur Schreibarbeit. dann den Vektor in der Basis aufzuschreiben sollte nicht zu schwer sein

die orthogonal Projektion sind die 3 zu dem gegebenen Lin unabhängigen orthogonalen Vektoren.

b) im Gram Schmidt Verfahren einfach das neue Skalarprodukt statt des euklidischen benutzen

c) einfach die Def von orthonormaler Basis benutzen.

Gruß lul