Aufgabe 1
a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis (bzgl. des Euklidischen Skalarproduktes ⟨⋅,⋅⟩2 ) des von den Vektoren
v1=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛11101⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞,v2=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛100−11⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞,v3=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛311−23⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞,v4=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛0211−1⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞
aufgespannten Untervektorraums V : =spann(v1,v2,v3,v4). Bestimmen Sie die Fourierentwicklung von x=(3,4,3,0,2)T sowie die orthogonale Projektion von y=(1,1,1,1,1)T in V
b) Es sei R3 mit dem Skalarprodukt ⟨u,v⟩W : =u1v1+2u2v2+3u3v3 für u=(u1,u2,u3)⊤ und v=(v1,v2,v3)⊤ gegeben. Bestimmen Sie aus
x1=(1,1,1)⊤,x2=(1,1,0)⊤,x3=(1,0,0)⊤
mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthonormalbasis von R3 bezüglich ⟨⋅,⋅⟩W.
c) Sei (V,⟨.,.⟩) ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum und W ein Orthonormalsystem von V. Beweisen Sie:
W ist eine Orthonormalbasis von V⇒ Ist x∈V und x⊥W, so ist x=0