0 Daumen
335 Aufrufe

Aufgabe 1


a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis (bzgl. des Euklidischen Skalarproduktes ,2 \langle\cdot, \cdot\rangle_{2} ) des von den Vektoren
v1=(11101),v2=(10011),v3=(31123),v4=(02111) v_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right), v_{4}=\left(\begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)
aufgespannten Untervektorraums V : =spann(v1,v2,v3,v4) V:=\operatorname{spann}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right) . Bestimmen Sie die Fourierentwicklung von x=(3,4,3,0,2)T x=(3,4,3,0,2)^{T} sowie die orthogonale Projektion von y=(1,1,1,1,1)T y=(1,1,1,1,1)^{T} in V V

b) Es sei R3 \mathbb{R}^{3} mit dem Skalarprodukt u,vW : =u1v1+2u2v2+3u3v3 \langle u, v\rangle_{W}:=u_{1} v_{1}+2 u_{2} v_{2}+3 u_{3} v_{3} für u=(u1,u2,u3) u=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)^{\top} und v=(v1,v2,v3) v=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)^{\top} gegeben. Bestimmen Sie aus
x1=(1,1,1),x2=(1,1,0),x3=(1,0,0) x_{1}=(1,1,1)^{\top}, \quad x_{2}=(1,1,0)^{\top}, \quad x_{3}=(1,0,0)^{\top}
mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthonormalbasis von R3 \mathbb{R}^{3} bezüglich ,W \langle\cdot, \cdot\rangle_{W} .

c) Sei (V,.,.) (V,\langle., .\rangle) ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum und W \mathcal{W} ein Orthonormalsystem von V V . Beweisen Sie:
W \mathcal{W} ist eine Orthonormalbasis von V V \Rightarrow Ist xV x \in V und xW x \perp \mathcal{W} , so ist x=0 x=0

Avatar von

Evtl. ein etwas ausführlichere Antwort, als die von unserem Kollegen "lul".


Danke im voraus

1 Antwort

0 Daumen

Hallo

fang doch einfach mal mit dem Gram Schmidt Verfahren an, das ist fast nur Schreibarbeit. dann den Vektor in der Basis aufzuschreiben sollte nicht zu schwer sein

die orthogonal Projektion sind die 3 zu dem gegebenen Lin unabhängigen orthogonalen Vektoren.

b) im Gram Schmidt Verfahren einfach das neue Skalarprodukt statt des euklidischen benutzen

c) einfach die Def von orthonormaler Basis benutzen.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage