Benutze die Taylor Reihe um Eulers Formel herzuleiten. Zeige dass: e^ix = cos(x) + i * sin(x)

Question

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(2 Punkte) Benutzen Sie eine Taylor Reihe um Euler's Formel herzuleiten. Gegeben ist die Taylor Reihe für \( x \in \mathbb{R} \) :
\( e^{x} \approx \sum \limits_{k=0}^{N} \frac{x^{k}}{k !}, \)
welche folgendermaßen erweitert werden kann:
\( e^{\mathrm{i} x} \approx \sum \limits_{k=0}^{N} \frac{(\mathrm{i} x)^{k}}{k !} \)
Zeigen Sie, dass \( e^{\mathrm{i} x}=\cos (x)+\mathrm{i} \cdot \sin (x) \).

Problem/Ansatz:

Weiß wer wie ich das am besten zeige?

Answer 1

\(e^{\mathrm{i} x} \approx \sum \limits_{k=0}^{4N+3} \frac{(\mathrm{i} x)^{k}}{k !} \)  in vier Reihen (k≡0,1,2,3 mod 4) aufteilen:

\( =\sum \limits_{k=0}^{N} \frac{(\mathrm{i} x)^{4k}}{(k) !} +   \sum \limits_{k=0}^{N} \frac{(\mathrm{i} x)^{4k+1}}{(4k+1) !} +  \sum \limits_{k=0}^{N} \frac{(\mathrm{i} x)^{4k+2}}{(4k+2) !} +  \sum \limits_{k=0}^{N} \frac{(\mathrm{i} x)^{4k+3}}{(4k+3) !}  \)

und beachte i^4=1  i^(4k+1)=i i^(4k+2)=-1   i^(4k+3)=-i

\(= \sum \limits_{k=0}^{N} \frac{x^{4k}}{(4k) !} +  \sum \limits_{k=0}^{N}  i\cdot \frac{x^{4k+1}}{(4k+1) !}  \)
\(+  \sum \limits_{k=0}^{N}  -1\cdot \frac{x^{4k+2}}{(4k+2) !}  +  \sum \limits_{k=0}^{N}  -i\cdot \frac{x^{4k+3}}{(4k+3) !}  \)

\(= \sum \limits_{k=0}^{N} \frac{x^{4k}}{(4k) !} +  \sum \limits_{k=0}^{N} -1\cdot \frac{x^{4k+2}}{(4k+2) !}  \)
\(+   \sum \limits_{k=0}^{N}  i\cdot \frac{x^{4k+1}}{(4k+1) !}  +  \sum \limits_{k=0}^{N}  -i\cdot \frac{x^{4k+3}}{(4k+3) !}  \)

Ersetze 2k durch n und bekommst für N gegen unendlich

die sin und die cos-Reihe.

Answer 2

\(e^{x}\) = \( 1 \) + \( x \) + \( \frac{1}{2} \)\( x^{2} \) + \( \frac{1}{6} \)\( x^{3} \) +\( \frac{1}{24} \)\( x^{4} \) + \( \frac{1}{120} \)\( x^{5} \) + ...

\(sin x\) = \( x\) -  \( \frac{1}{6} \)\( x^{3} \) + \( \frac{1}{120} \)\( x^{5} \) - ...

\(cos x\) = \(1\) - \( \frac{1}{2} \)\( x^{2} \) + \( \frac{1}{24} \)\( x^{4} \) - ...

siehe auch hier:

Die Taylorreihe für

\( e^{i x} \) ist nach der Definition oben:

\( e^{i x} \) = \( 1 \) + \( i x \) + \( \frac{1}{2} \) \((ix)^{2} \) + \( \frac{1}{6} \)\( (ix)^{3} \) +\( \frac{1}{24} \)\( (ix)^{4} \) + \( \frac{1}{120} \)\( (ix)^{5} \) + ...

= \( 1 \) + \( i x \)+ \( \frac{1}{2} \)\(i^{2} x^{2} \) + \( \frac{1}{6} \)\( i^{3} x^{3} \) +\( \frac{1}{24} \)\( i^{4} x^{4} \) +\( \frac{1}{120} \)\( i^{5} x^{5} \) + ...

= \( 1 \) + \( i x \) - \( \frac{1}{2} \)\( x^{2} \) - \( \frac{1}{6} \)\( i x^{3} \) +\( \frac{1}{24} \)\( x^{4} \) + \( \frac{1}{120} \)\(  x^{5} \) + ...

=  \( 1 \) - \( \frac{1}{2} \)\( x^{2} \) +\( \frac{1}{24} \)\( x^{4} \) + \( i x \)  - \( \frac{1}{6} \)\( i x^{3} \)  + \( \frac{1}{120} \)\(  x^{5} \) + ...

=  \( 1 \) - \( \frac{1}{2} \)\( x^{2} \) + \( \frac{1}{24} \)\( x^{4} \) + \( i \) ( \(x\)  - \( \frac{1}{6} \)\( x^{3} \)  + \( \frac{1}{120} \)\(  x^{5} \) ) + ...

= \( cos x + i sin x\)

Wobei bei der zweiten Gleichheit Potenzgesetze angewendet worden sind, bei der dritten nach Termen mit i und ohne i geordnet worden sind.

Bei der vierten das i ausgeklammert wurde und schlussendlich die Taylorreihe von sin und cos angewendet wurde

Da \(i^2\) = -1 , \(i^3\)=-i, \(i^4\) = 1, \(i^5\)=i,...