Beweisen Sie, dass die Funktion F : [0, x∗] → B, mit F(x) = exp(ix) = cos(x) + i*sin(x), x ∈ [0, x∗], bijektiv ist.

Question

Gegeben sei der Viertelkreisbogen B = {z = u + iv ∈ C | |z| = 1, u ≥ 0, v ≥ 0}.
Es bezeichne x∗ = π/2 die kleinste positive Nullstelle der Cosinus-Funktion.

(a) Beweisen Sie, dass die Funktion F : [0, x∗] → B, definiert durch F(x) = exp(ix) = cos(x) + i*sin(x), x ∈ [0, x∗], bijektiv ist.

(b) Für n ∈ N sei x_k := k/n * x∗, k ∈ {0, 1, . . . , n}.

Die Punkte F(x_k) = exp(ix_k) ∈ B bilden die Eckpunkte eines Polygonzuges P_n der entsteht, wenn die Punkte F(x_k) mit  F(x_k+1) durch Strecken miteinander verbunden werden. Die Länge L_n des Polygonzugs P_n ist dann gegeben durch

L_n = \( \sum\limits_{k=0}^{n-1}{} \)IF(xk+1)- F(xk)I = \( \sum\limits_{k=0}^{n-1}{} \) Iexp(ix_k+1) - exp(ix_k)I

Die Länge L des Viertelkreisbogens wird definiert durch L = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) L_n

Beweisen sie mithilfe der stetigen Funktion g(z)= { (exp(z)-1)/z , z ≠ 0,

                                                                           1, z=0

dass L=x∗ = π/2.

Answer 1

Hallo,

die Fragestellung ist ein bisschen komisch. Ich verstehe nicht, was das Hick-hack wegen \(\pi/2\) soll.

Ich zeige jetzt mal die Bijektivität. Sei also \(z=u+iv \in B\) gegeben. Dann ist also \(u \in [0,1]\). Damit ist x festgelegt: \(x=\arccos(u)\). Dann gilt auch

$$v=\sqrt{1-u^2}=\sqrt{1-\cos(x)}=\sqrt{\sin(x)^2} =\sin(x)$$

Also in der Tat \(F(x)=\cos(x)+i\sin(x)=u+iv\)

Für den zweiten Teil benutze:

$$|\exp(ix_{k+1})-\exp(ix_k)|=|\exp(ix_{k+1}-ix_k)-1||\exp(ix_k)|=|\exp(i\frac{\pi}{2n})-1|$$

D.h. die Summanden in der Summe für Ln hängen gar nicht von k ab ....

Gruß Mathhilf