Seitenlängen |AB| und |AD| des Rechtecks ABCD

Question

Aufgabe:

Man beweise:
Verhalten sich die Seitenlängen |AB| und |AD| des Rechtecks ABCD wie \( \sqrt{2} \):1, so ist BD senkrecht
zur Strecke AM, wobei M der Mittelpunkt von DC ist.

Problem/Ansatz:

Leider hab ich keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe beweisen kann

Comments

Skizze gemacht?

Tipp: wie groß ist ein DIN A4 Blatt Papier? Und warum ist es genau so groß?

Answer 1

Hallo,

die Diagonale hat die Länge √3.

Die Seiten des Dreiecks ABD stehen im Verhältnis √2 : √3 : 1.

Nun betrachte das Dreieck DAM.

DA=1

DM=0,5•√2

AM²=1 + 0,5 = 1,5 → AM=√(1,5)

Damit stehen die Seiten im Verhältnis

1 : √(1,5) : 0,5•√2

=√2 : √3 : 1

Die beiden Dreiecke sind ähnlich und sind um 90° gegeneinander gedreht.

Damit stehen die Hypotenusen senkrecht zueinander.

:-)

Answer 2

Koordinaten eines Rechtecks mit der Breite b und der Höhe h:

A=(0,0)

B=(b,0)

C=(b,h)

D=(0,h)

Mitte DC = M =1/2*(D+C) = (b/2, h)

Richtungsvektor AM: = (M-A) = (b/2,h)

Richtungsvektor BD: = (D-B) = (-b,h)

Skalarprodukt AM*BD = -\( \frac{b^2}{2} + h^2 \)

Wenn AM und BD senkrecht stehen, muss AM*BD = 0 gelten

wegen \( \frac{b}{h} = \sqrt{2} \)  folgt \( b = h*\sqrt{2} \)

AM*BD = -\( \frac{h^2 *2}{2} + h^2 \) = 0

q.e.d