Der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD ist gesucht. Die diagonale |AC| beträgt 8 Einheiten.

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

… Der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD ist gesucht. Die diagonale |AC| beträgt 8 Einheiten.

Mögliche Antwortmöglichkeiten: 16), 18), 20), 22), 24) [Flächeneinheiten]

Answer 1

Hallo,

eine schöne Aufgabe zur Verwirrung der Schüler. Zeichne den Umkreis des Rechtecks ein und suche dann nach den Peripheriewinkeln (bzw. Umfangswinkeln)

Da der Winkel \(\angle DKB\) (gelb) ein rechter ist, liegt \(K\) auf dem Umkreis. Und somit ist \(\angle ACD = \angle AKD = 15°\) (rot). Der Flächeninhalt \(F\) ist also$$F = 8 \sin(15°) \cdot 8 \cos(15°) = 64 \cdot \frac 14(\sqrt 6 - \sqrt 2) \cdot \frac 14(\sqrt 6+ \sqrt 2) = 16$$Gruß Werner

Comments

Ja für Verwirrung hat es schon gesorgt bei mir und bei meinen Mathe Kollegen :D

Verstehe aber noch nicht ganz warum man 8sin(15°) * 8cos(15°) rechnen muss

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Verstehe aber noch nicht ganz warum man 8sin(15°) * 8cos(15°) rechnen muss

\(\triangle ABC\) ist ein rechtwinkliges Dreieck. Sei \(\angle BAC=\alpha\) (rot), so gilt doch $$\sin(\alpha) = \frac{|BC|}{|AC|} \implies |BC| = |AC| \cdot \sin(\alpha)\\ \cos(\alpha) = \frac{|AB|}{|AC|} \implies |AB| = |AC| \cdot \cos(\alpha)$$Und lt. Aufgabenstellung ist \(|AC| = 8\). Und dass $$F = |BC| \cdot |A{\color{red}B}|$$ist, weißt Du selber - oder?

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Ist der Flächeninhalt vom Rechteck nicht Länge mal Breite?

Also Strecke AB * Strecke AD?

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Ist der Flächeninhalt vom Rechteck nicht Länge mal Breite?
Also Strecke AB * Strecke AD?

Interessante Bemerkung ;-)

Ja sicher! ... und im Rechteck gilt außerdem \(|AD| = |BC|\)

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Und warum rechnest du dann Strecke AC * Strecke BC?

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Und warum rechnest du dann Strecke AC * Strecke BC?

Oh je .., sag' doch gleich, dass mir ein Tippfehler passiert ist ;-)

Ich habe es korrigiert (s.o.)

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Und dann kommt 26 als Ergebnis raus oder?



Habe die Seiten auch mal nachgemessen und wenn man das Verhältnis überträgt, kommt ungefähr 26 raus.

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Habe die Seiten auch mal nachgemessen

hast Du die Winkel \(15°\) und \(90°\) auch nachgemessen?

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meine Zeichnung sollte massstabsgeteu sein!

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Oben rechts kommt ein Winkel von 65° raus.
Ist diese Zeichnung also nicht maßstabsgetreu?

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Besser Du zeichnest es selber noch einmal. Zeichne die Strecke von 8cm und an einen der Eckpunkte einen Winkel von 15°. Halbiere die Strecke und zeichne den Umkreis usw.

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hast Du die Winkel [...] und \(90°\) auch nachgemessen?

Einen Winkel von 90° braucht man ja nicht nachmessen...

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Wie lang ist denn die Seite AB und AC?

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Einen Winkel von 90° braucht man ja nicht nachmessen...

ich meine den Winkel \(\angle DKB\), der als 90°-Winkel gekennzeichnet ist. Der ist aber etwas kleiner als 90°! Das kann aber auch daran liegen, dass Du die Kamera beim Fotographieren nicht ganz parallel zum Papier gehalten hast.

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Wie lang ist denn die Seite AB und AC?

steht oben: $$|AB| = |AC| \cdot \cos(15°) = 8 \cdot \frac14(\sqrt 6 - \sqrt 2)$$usw. - ist aber sinnlos, das im Taschenrechner einzugeben. Besser Du multiplizierst das vorher mit \(|BC|\). Dann braucht man den TR nicht mehr!