Vektoraufgabe mit Skalarprodukt: Sei ABCD ein Rechteck mit AB=2 AD=3

Question

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe

Sei ABCD ein Rechteck mit AB=2, AD=3. Der Punkt F liegt in der Ebene des Rechtecks und erfüllt die folgenden Bedingungen:

AF*AB=−4   ,   AF*AD=6

Aufgabe:

Zerlegen Sie AF durch AB und BC

Zerlegen Sie AD durch AF und AB

In Form von:

AF= r*AB+s*BC

AD=r*AF+ s*AB

Wie stehen die Geraden BD und AF zueinander?

Comments

Der Hinweis vor einer Stunde, ein Geometrieprogramm zu nutzen, war ernst gemeint. Deine Grafik von oben lässt sich in 2 min erstellen:

~draw~ rechteck(0|0 2 3)#;punkt(0|3 "D");punkt(2|0 "B");punkt(2|3 "C");punkt(0|0 "A");punkt(1|2 "F");zoom(4);aus;alpha(1) ~draw~

---

Das Koordinatensystem kann in die Irre führen. Wer weiss denn bei einer geometrischen Skizze schon genau, wo F liegt?

AF*AB=−4  ,  AF*AD=6

Sind das Skalarprodukte von Vektoren?

---

Das Koordinatensystem kann in die Irre führen. Wer weiss denn bei einer geometrischen Skizze schon genau, wo F liegt?

Wohl wahr! wenn man das 'Skalarprodukt' verstanden hat, kann man \(F\) auch gleich an die richtige Stelle einzeichnen:

Answer 1

Hallo Marco,

Gegeben ist ein Rechteck \(ABCD\) mit \(|AB|=2\) und \(|AD|=3\) und gesucht ist ein Punkt \(F\) mit den Bedingungen $$\vec{AF} \cdot \vec{AB}=-4; \quad \vec{AF}\cdot\vec{AD}=6$$

Zerlegen Sie AF durch AB und BC und AD durch AF und AB
In Form von:
AF= r*AB+s*BC
AD=r*AF+ s*AB

das machen wir einfach mal mit der ersten Zerlegung. Und bilden gleich die Skalarprodukte $$\vec{AF} \cdot \vec{AB} = ( r\cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{BC}) \cdot \vec{AB} = r \cdot \vec{AB}^2 = -4$$ Der zweite Term entfällt, da \( \vec{BC} \perp \vec{AB}\). $$\Rightarrow r = -1$$

$$\vec{AF}\cdot\vec{AD}= ( r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{BC}) \cdot \vec{AD} = s \cdot \vec{AD}^2 = 6$$ Der erste Term entfällt wieder, da \(\vec{AB} \perp \vec{AD}\) und \(\vec{BC} = \vec{AD}\). $$\Rightarrow s = \frac{6}{9} = \frac23$$ Einsetzen in die Gleichung für \(\vec{AF}\) gibt: $$ \vec{AF} = r\cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AD} = -\vec{AB} + \frac23\vec{AD}$$ kommt also das gleiche raus, wie in der graphischen Lösung, oben im Kommentar.

Wie stehen die Geraden BD und AF zueinander?

... schaffst Du jetzt allein - oder?

Gruß Werner

Comments

Ich werde es morgen versuchen, ich sag dir dann bescheid. Danke für die Antwort.

Answer 2

Nimm doch einfach A als Koordinatenursprung eines kartesischen

Koordinatensystems, wegen der Längen hats du dann B(2;0) und

D(0;3).

Mit  -4 = AF*AB = (x*AB+y*AD)*AB

                          =  x*AB^2 + 0

                          = x* 4

hast du x = -1  und entsprechend mit

6 = AF*AD = (x*AB+y*AD)*AD

                    = 0 + y*AD^2

                   = y*9

bekommst du y = 2/3 , also ist  F( -2 ; 2 ) .

Gerade BD:   x =  (2;0) + t*( -2 ; 3)

Gerade AF:   x =  (0;0) + s*( -1 ; 1)

Gleichsetzen gibt s= -6 und t=-2 also

schneiden sich die Geraden in S(6;-6) .

Und AF bildet mit der x-Achse einen 45°-Winkel und

BD mit der x-Achse einen von 56,31°.

Die Geraden schneiden sich also unter einem

Winkel von 11,31°.