fx (x,y) in (0,0) stetig oder nicht? Überprüfen

Question

Aufgabe:

Ich soll überprüfen, ob eine angegebene Funktion f, in f_x(x,y) in (0,0) stetig ist, oder nicht.

Problem/Ansatz:

Ich kann jetzt zwar nach x ableiten und dann normal auf Stetigkeit prüfen.

Aber vor dieser Aufgabe, gab es eine andere Aufgabe, bei der ich die partielle Differenzierbarkeit prüfen sollte.

Das habe ich mit der H-Methode für x und y getan. Bei fx(0,0) kam als Ergebnis = 0 raus. Reicht das, wenn ich darauf verweise und sage, dass sie stetig ist, da ja 0 rauskam? Oder muss ich die Ableitung bilden und dann auf Stetigkeit prüfen?

Answer 1

Ich würde das Letztere machen.

Comments

Bei Ableitung der Funktion nach x:

f (x,y) = \( \frac{y^5}{x^4+y^4} \)

komme ich auf

f_x(x,y) =  \( \frac{-y^5 * 4x^3}{(x^4+y^4)^2} \)

Wenn ich mit Polarkoordinaten die Stetigkeit überprüfen möchte, komme ich auf:

-4r * \( \frac{sin^5(φ) * cos^3(φ)}{(cos^4(φ)+sin^4(φ))^2} \)

Der Nenner kann ja wegen dem positiven Exponenten nicht null werden. Also ist der Nenner immer > 0. Aber der Zähler enthält ungerade Exponenten. Kann sinus und cosinus dann 0 werden? Wie argumentiere ich hier richtig?

Für r -> 0 und Nenner > 0, sollte doch der gesamte Ausdruck gegen 0 gehen. Reicht das als Begründung?

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-4r geht gegen 0 und der Bruch ist beschränkt,

also Grenzwert 0.

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Der Bruch ist beschränkt wegen sinus und kosinus, da sich der Bruch im Intervall zwischen -1 und 1 bewegt, oder? Bzw. Werte zwischen -1 und 1 annimmt (jeweils Sin und Cos)

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Der Betrag vom Nenner ist immer größer als o,4 und der vom Zähler

kleiner als 1 .

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Wie kommst du auf die werte 0, 4 und 1?

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sin und cos Werte sind immer vom Betrag her ≤ 1,

also auch ihre Potenzen und deren Produkt.

Und der Nenner hat ein globales Minimum von 0,5.

Kannst du durch  Ableitung=0 bestimmen.

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Dankeschön! Ist es erlaubt, bei der anwendung von polarkoordinaten immer den Betrag zu nehmen? Oder grundsätzlich bei der Berechnung von limes?

Noch eine Frage zum nenner. Cos^4 + sin^4 , angenommen = 0.5. Das hoch zwei ist doch 0.5 * 0.5, < 0.5

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Du brauchst ja die Info, dass der Bruch nach oben und unten

beschränkt ist, deshalb der Betrag.

Die Funktion zu cos(x)^4 + sin(x)^4 sieht so aus:

~plot~  cos(x)^4 + sin(x)^4  ~plot~

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Ok, danke dir. Aber was ist denn mit meiner Frage, bezüglich dem Exponenten im Nenner. Wenn sin^4 + cos^4 bspw. das Minimum 0.5 annimmt. Dann also im Nenner stehen würde: (0.5)^2. Dann wäre der Nenner doch kleiner als 0.5, oder nicht?

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Ach so, das letzte hoch 2 hatte ich ganz übersehen.

Dann muss man eben sagen, der Nenner ist immer

größer oder gleich 0,25. Das reicht ja auch.