a)
Kreuzprodukt (B-A) und (C-A) : (-3,4,15)x(-4,-2,9) = (66,-33,22) → n = \( \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \)
E in Normalenform \( \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} * ( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix} \) ) = 0
b)
Das Skalarprodukt n*A = (6,-3,2)*(4,0,-7) ergibt 10.
Um auf einen Abstand von +21 zu kommen, (10+21) = 31, muss (4,0,-7) mit 31/10 multipliziert werden.
E1: \( \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} * ( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 4*31/10 \\ 0 \\ -7*31/10 \end{pmatrix} \) ) = 0
Um auf einen Abstand von -21 zu kommen, (10-21) = -11, muss (4,0,-7) mit -11/10 multipliziert werden.
E2: \( \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} * ( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 4*-11/10 \\ 0 \\ -7*-11/10 \end{pmatrix} \) ) = 0
Wesentlich einfacher wird es, wenn man zur Koordinatenform übergeht.
E: 6x -3y +2z = 10
E1: 6x -3y +2z = 10+21 = 31
E2: E: 6x -3y +2z = 10-21 = -11
c)
Für den Winkel zwischen dem Normalenvektor n und der z-Achse (z = (0,0,1)) gilt:
cos(alpha) = \( \frac{n*z}{|n|*|z|} = \frac{2}{ \sqrt{6^2+3^2+2^2} * 1 } = 2/7 \)
arccos(2/7) ~ 73.4 Grad
Da der Normalenvektor n senkrecht auf der Ebene steht, beträgt der Winkel wischen E und z (90 - 73.4) ~ 16.6 Grad.
