Grenzwert mit mehreren Variabeln und Max(a,b)

Question

Aufgabe:

Zeigen sie, dass für beliebige a,b E R>0 gilt:

$$\lim \limits_{x \to \infty}(a^x+b^x)^{1/x}=Max (a,b)$$

Problem/Ansatz:

Was ich hier vor allem nicht verstehe ist, warum es eine Rolle spielt, ob a>b oder a<b

Answer 1

a > b:

\( \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt[x]{a^x+ b^x} \) =

\( \lim \limits_{x \to \infty}\sqrt[x]{a^x ( 1 + (\frac{b}{a})^x)} \) =

\( \lim \limits_{x \to \infty}a* \sqrt[x]{1 + (\frac{b}{a})^x} \) = a

b >  a:

\( \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt[x]{a^x+ b^x} \) =

\( \lim \limits_{x \to \infty}\sqrt[x]{b^x ((\frac{a}{b})^x + 1)} \) =

\( \lim \limits_{x \to \infty}b* \sqrt[x]{(\frac{a}{b})^x + 1} \) = b

a = b:

\( \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt[x]{2*a^x} \) =

\( \lim \limits_{x \to \infty} a*\sqrt[x]{2} \) = a = b

Answer 2

Hallo,

ist \( a \geq b \), so gilt für alle \(n \geq 2 \)

\( a\overset{(n \to\infty)}{\longleftarrow} a = \sqrt[n]{a^n} \leq \sqrt[n]{a^n+b^n} \leq \sqrt[n]{2a^n} \leq \sqrt[n]{n} \cdot a  \overset{(n \to\infty)}{\longrightarrow}a \)

also \( \sqrt[n]{a^n+b^n} \overset{(n \to\infty)}{\longrightarrow}a \).

Analog folgt \( \sqrt[n]{a^n+b^n} \overset{(n \to\infty)}{\longrightarrow}b \) falls \( b\geq a\)