Aufgabe:
Sei \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig differenzierbar. Sei \( a \in \mathbb{R}^{n} \) derart, sodass für alle \( i \in\{1, \ldots, n\} \) \( \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a) \neq 0 \) gilt
definiere \( M=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid f(x)=f(a)\right\} \). Für beliebiges \( x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \) bezeichnen wir mit \( \hat{x}_{i}=\left(x_{1}, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n-1} \) den Vektor ohne die \( i \)-te Koordinate. Nach dem Satz über implizite Funktionen lässt sich jede Koordinate \( x_{i} \) von \( x \in M \) in einer Umgebung \( U \) von \( a \) als differenzierbare Funktion \( \varphi_{i} \) der restlichen Koordinaten \( \hat{x}_{i} \) darstellen, d.h., es gilt:
\( x \in M \Longleftrightarrow x_{i}=\varphi_{i}\left(\hat{x}_{i}\right) \)
zu zeigen ist:
\( \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x_{2}}\left(\hat{x}_{1}\right) \cdot \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x_{3}}\left(\hat{x}_{2}\right) \cdot \ldots \cdot \frac{\partial \varphi_{n-1}}{\partial x_{n}}\left(\hat{x}_{n-1}\right) \cdot \frac{\partial \varphi_{n}}{\partial x_{1}}\left(\hat{x}_{n}\right)=(-1)^{n} \)
Problem/Ansatz:
Hat jemand einen Tipp für mich oder kennt vielleicht ein hilfreiches Theorem, mit dem ich arbeiten kann?
Ich danke euch im Voraus für jede Hilfe!
