Normierte Vektorräume und lineare Abbildung

Question

Aufgabe:

Seien \( \left(V,\|\cdot\|_{V}\right) \) und \( \left(W,\|\cdot\|_{W}\right) \) normierte \( \mathbb{R} \)-Vektorräume und \( f: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung.

sei ||f|| := inf { c ≥ 0 | ∀ x ∈ V: || f(x) ||_{W} ≤ c ||x||_{V} }

zu zeigen ist:

\( \|f\|=\sup _{x \in V \backslash\{0\}} \frac{\|f(x)\|_{W}}{\|x\|_{V}}=\sup _{\substack{x \in V,\|x\|_{V}=1}}\|f(x)\|_{W}=\sup _{\substack{x \in V,\|x\|_{V} \leq 1}}\|f(x)\|_{W} \)

Problem/Ansatz:

Hi, mein Problem hier ist, dass ich es verstehen kann, wie dies wahr sein könnte, habe aber keine Ahnung, wo ich anfangen soll, um es zu beweisen, da ich wirklich Schwierigkeiten habe, mit inf und sup zu arbeiten.
Hat jemand einen Tipp für mich oder kennt vielleicht ein hilfreiches Theorem, mit dem ich arbeiten kann?
Ich danke euch im Voraus für jede Hilfe! :)

Answer 1

Hallo,

ich benenne erstmal die zu zeigenden Gleichungen: $$||f||\overset{(1)}{=}\sup\left\{\frac{||f(x)||_W}{||x||_V}\,|\,x\in V\backslash\{0\}\right\}\overset{(2)}{=}\sup\left\{||f(x)||_W\,|\,x\in V,\,||x||_V=1\right\}\\\overset{(3)}{=}\sup\left\{||f(x)||_W\,|\,x\in V,\,||x||_V\leq1\right\}$$
Man sollte im folgenden wahrscheinlich noch \(V\neq\{0\}\) annehmen.

Zu (1): Es gilt $$\begin{aligned} ||f||&=\inf\left\{c\geq0\,|\,\forall x\in V:\,||f(x)||_W\leq c||x||_V\right\}\\ &=\inf\left\{c\geq0\,|\,\forall x\in V\backslash\{0\}:\,\frac{||f(x)||_W}{||x||_V}\leq c\right\}\\ &=\sup\left\{\frac{||f(x)||_W}{||x||_V}\,|\,x\in V\backslash\{0\}\right\}=:s_1 \end{aligned}$$

Der Schritt von Zeile 1 zu 2 sollte eigentlich klar sein. Wenn du Probleme mit \(\inf\) hast stelle sicher, dass er dir wirklich klar ist.
Der Schritt von Zeile 2 zu 3 muss genauer begründet werden. Das Infimum ist ja die größte untere Schranke. Zeige also, dass \(s_1\) eine untere Schranke für die Menge ist und jede Zahl \(a>s_1\) keine untere Schranke mehr ist.

Zu (2):
Es ist $$\begin{aligned} &\sup\left\{\frac{||f(x)||_W}{||x||_V}\,|\,x\in V\backslash\{0\}\right\}\\ =&\sup\left\{\frac{||f(\lambda x)||_W}{||\lambda x||_V}\,|\,x\in V,\,||x||_V=1,\,\lambda>0\right\}\\ =&\sup\left\{||f(x)||_W\,|\,x\in V,\,||x||_V=1\right\} \end{aligned}$$
Das hat alles nicht viel mit dem Supremum zu tun, sondern damit, dass die Mengen gleich sind.

Zu (3): Zeige, dass es für jedes \(x\in V\) mit \(||x||_V\leq1\) ein \(y\in V\) mit \(||y||=1\) gibt, sodass \(||f(x)||\leq||f(y)||\). Dann sollte die Gleichheit auch klar sein.

Vielleicht gibt es elegantere Wege eine der Gleichheiten zu zeigen, ich habe hier nur den "straight-forward" Weg aufgeschrieben. Der ist aber sicherlich ganz gut um zu lernen, wie man mit \(\sup\) und \(\inf\) arbeitet.

Ich hoffe ich habe beim aufschreiben keinen Fehler gemacht.

LG Dojima

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Vielen vielen Dank für die Hilfe!!!! :D