Abgeschlossenheit der Nullstellenmenge einer stetigen Funktion

Question

Aufgabe:

Sei f : R → R eine stetige Funktion. Beweisen Sie, dass die Menge
N := {x ∈ R| f(x) = 0}
abgeschlossen ist

Problem/Ansatz:

Hey Leute, ich hänge bei dieser Aufgabe fest seit einiger Zeit, ich schaffe einfach keinen sinnvollen Beweis zu erstellen. Über jegliche Hilfe würde ich mich freuen. LG

Answer 1

(1) Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen sind abgeschlossen.

(2) \(\{0\}\) ist abgeschlossen.

Wie sieht \(f^{-1}(\{0\})\) aus?

Answer 2

Wenn man den Satz über die abgeschlossenheit der Urbildmengen abgeschlossener

Mengen unter stetigen Abbildungen nicht kennt, kann man so

argumentieren:

ich zeige, dass das Komplement \(N^C\) von \(N\) offen ist. Sei \(g\)

definiert durch \(g(x)=(f(x))^2\), dann ist

\(N^C=\{x\in R: \; g(x)\gt 0\}\). Sei nun \(x_0\in N^C\).

Ich setze \(\epsilon = g(x_0)/2\). Da \(g\) stetig in \(x_0\) ist,

gibt es \(\delta>0\), so dass \(|x-x_0|\lt \delta \Rightarrow |g(x)-g(x_0)|\lt \epsilon\),

d.h. \(g(x)\in (g(x_0)-\epsilon, g(x_0)+\epsilon)\) und folglich

\(g(x)>g(x_0)-g(x_0)/2=g(x_0)/2>0\), d.h. \(x\in N^C\) und damit

\(U_{\delta}(x_0)\subseteq N^C\).