Welche Oberfläche und welches Volume hat ein solches Kügelchen?

Question

Aus einem Kupferwürfel mit der Kantenlänge a=5 cm sollen nach dem Schmelzen des Metalls Kügelchen mit dem Radius 1,5mm hergestellt werden.

a)Welche Oberfläche und welches Volume hat ein solches Kügelchen?

b)Wie viele Kügelchen lassen sich aus dieser Materialmenge herstellen?

c)Aus einem anderen Kupferwürfel der Kantenlänge b=8 cm wurden insgesamt 3,77*10⁶ Kügelchen hergestellt. Welches Radius haben diese?

Answer 1

a)

O_Kugel = 4 π r ² = 4 * π * 1,5 ² ≈ 28,27 mm²

V_Kugel = ( 4 / 3 ) * π * r ³ ≈ 14,14 mm³

 

b)

V_Würfel = a ³ = ( 50 mm ) ³ = 125000 mm³

V_Würfel = n * V_Kugel

<=> n = V_Würfel / V_Kugel = 125000 / 14,14 = 8840,2

Aus dem Würfel lassen sich also etwa 8840 Kügelchen herstellen.

 

c) V_Würfel = n * V_Kugel

Formeln und Zahlen einsetzen:

( 80 mm ) ³ = 3,77 * 10 ⁶ * ( 4 / 3 ) * π * r ³

Auflösen nach r:

<=> 512000 / ( 3,77 * 10 ⁶ * ( 4 / 3 ) * π ) = r ³

<=> r = ³√ ( 512000 / ( 3,77 * 10 ⁶ * ( 4 / 3 ) * π )  ) ≈ 0,319 mm

Die Kügelchen haben also einen Radius von etwa 0,319 mm