Bestimmen Sie die Verteilung von X und den Erwartungswert E(X).

Question

Aufgabe:

Wir spielen mit einem Tetraeder, dessen Seiten mit 1, . . . , 4 nummeriert sind. Wir
werfen den Tetraeder, bis die Summe der geworfenen Zahlen ≥ 3 ist. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Würfe.

Bestimmen Sie die Verteilung von X und den Erwartungswert E(X).

Problem/Ansatz:

Ich habe für die Verteilung:

P(X^-1({1})) = 1/2 (1 Wurf wird benötigt)

P(X^-1({2})) = 7/16 (2 Würfe werden benötigt)

P(X^-1({3})) = 1/16 (3 Würfe werden benötigt)

Und für den Erwartungswert:

E(X)= 2*1/4*1 (Augensumme 3 ist nach einem Wurf schon erreicht, was es bei 2 Fälle gibt bei 3 und 4) + 4*1/16*2 (Augensumme 3 ist nach zwei Würfen erreicht, zuerst haben wir eine 2 gewürfelt, und dann egal, was wir im zweiten Wurf würfeln) + 3*1/16*2 (Augensumme 3 ist nach zwei Würfen erreicht, zuerst haben wir eine 1 gewürfelt, und dann entweder eine 2,3 oder 4) + 4*1/64*3 (Augensumme 3 ist nach drei Würfen erreicht, zuerst haben wir zweimal eine 1 gewürfelt, und dann egal, was wir im dritten Wurf würfeln) = 25/16.

Ist das so korrekt?

Answer 1

Aloha :)

Ich komme auf dieselben Wahrscheinlichkeiten:$$p(x=1)=\frac12$$$$p(x=2)=\overline{p(x=1)}\cdot\frac78=\frac12\cdot\frac78=\frac{7}{16}$$$$p(x=3)=1-p(x=1)-p(x=2)=1-\frac12-\frac{7}{16}=\frac{1}{16}$$

Als Erwartungsert für die Anzahl der Würfe kommt raus:$$\left<X\right>=\frac12\cdot1+\frac{7}{16}\cdot2+\frac{1}{16}\cdot3=\frac{8}{16}+\frac{14}{16}+\frac{3}{16}=\frac{25}{16}$$

Ich komme auf dieselben Ergebnisse wie du\(\quad\checkmark\)

Answer 2

Das Ergebnis ist korrekt. Folgende Möglichkeiten gibt es:

1,1,1: p = 1/64
1,1,2: p = 1/64
1,1,3: p = 1/64
1,1,4: p = 1/64
1,2: p = 1/16
1,3: p = 1/16
1,4: p = 1/16
2,1: p = 1/16
2,2: p = 1/16
2,3: p = 1/16
2,4: p = 1/16
3 :   p = 1/4
4:   p = 1/4

E = 3*(4/64) + 2*(7/16) + 1*(2/4) = 25/16