Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable und die Bedeutung für die Verteilung in der Nähe von E(X).

Question

Liebe Lounge,

bislang hatte ich immer im Hinterkopf, dass die Verteilung entweder für P(X=E(X)) oder aber für den Wert jeweils links oder rechts von E(X) die höchsten Wahrscheinlichkeiten annimmt.

Jetzt ist es aber ja so, dass z.B. bei einer Gleichverteilung das Ganze schonmal nicht mehr stimmt, da alle Werte mit gleicher Wahrscheinlichkeit angenommen werden. Bei einem Würfel ist der Erwartungswert 3,5. Er selbst wird gar nicht angenommen. Und auch 4 oder 3 bleiben mit 1/6 identisch zum Rest.

Stellt man sich jetzt z.B. eine Zufallsvariable vor, welche auf [1;100] definiert ist mit P(X=0)=0,5 und P(X=100)=0,5. Dann ist E(X)=50. Da wird jetzt der Erwartungswert nicht angenommen UND die beiden Ausprägungen der Zufallsvariablen mit den höchsten Wahrscheinlichkeiten liegen auch noch super weit entfernt.

Nun zu meine zwei Fragen:

1. Ist die Aussage, dass die Verteilung um den Erwartungswert die höchsten Wahrscheinlichkeiten annimmt im Allgemeinen falsch?

2. Zumindest für eine binomialverteilte Zufallsvariable müsste diese Aussage ja doch stimmen. Könnte mir jemand rechnerisch beweisen, warum dies für eine binomialverteilte Zufallsvariable so ist?

Vielen Dank!

Beste Grüße und genießt das Wetter.

Kombi

Answer 1

1. Ist die Aussage, dass die Verteilung um den Erwartungswert die höchsten Wahrscheinlichkeiten annimmt im Allgemeinen falsch?

Ja, das ist im Allgemeinen falsch und Gegenbeispiele hast du selbst angeführt.

2. Zumindest für eine binomialverteilte Zufallsvariable müsste diese Aussage ja doch stimmen. Könnte mir jemand rechnerisch beweisen, warum dies für eine binomialverteilte Zufallsvariable so ist?

Für die Binomialverteilung trifft die Aussage zu. Wie man dies beweist, weiß ich nicht. Man müsste dazu die Bernoulli-Formel gegen die Erwartungswertformel abschätzen.

Comments

Hmm okay. Vielleicht weiß es ja jemand!?