Entwicklung einer Insektenpopulation Eier Larven und Insekten

Question

Aufgabe:

Die Entwicklung einer Insektenpopulation lässt sich näherungsweise durch folgendes Modell beschrieben: (1) Die Insekten legen Eier, aus denen nach einem Monat Larven schlüpfen.
(2) Aus den Larven werden nach einigen Monaten Insekten.
(3) Nach einem Monat legen die Insekten Eier und sterben danach. (4) Das Modell wird durch folgenden Graphen dargestellt:

30% E zu L

20% L zu I

20 I ——-> E

E=Eier

L=Larven

I=Insekten

a) Erläutern Sie die Zahlen im Sachzusammenhang.

b) Bei Beobachtungsbeginn Monat 0 gibt es 1000 Eier, 300 Larven und 100 Insekten. Erstellen Sie eine
Tabelle für weitere 6 Monate.

Problem/Ansatz:

Sehr schwer für mich allgemein die Aufgabe zu verstehen und einzuordnen

Answer 1

Die Populationsmatrix lautet

$$ M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 20 \\ 0.3 & 0 & 0 \\ 0 & 0.2 & 0 \end{pmatrix} $$ Die Spalten beschreiben die Übergänge in den jeweiligen neuen Zustand.

Anfangsbestand ist $$ b = \begin{pmatrix} 1000 \\ 300 \\ 100 \end{pmatrix} $$  

Nach einem Monat hat man folgend Zustand \( M \cdot b \) und nach \( n \) Monaten \( M^n \cdot b \)

Da für den reellen Eigenwert \( \lambda \) von \( M \) gilt

\( \lambda > 1 \)

wächst die Population exponentiell.

Comments

Wie lautet dann der sachzusammenhang? Möglicherweise nicht ganz so kompliziert:)

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Die Spalten der Matrix beschreiben die Übergänge der einzelnen Zustände. Also aus Eiern werden zu 30% Larven usw. Wenn Du die Matrix mit einem Vektor multiplizierst der nur Eier enthält, z.B. $$ \begin{pmatrix} 100 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ bekommst Du 30 Larven. Für die anderen Zustände kann man das ebenso erklären.