Rationale Zahl als Grenzwert von Reihe

Question

Aufgabe:

Wenn (an)n∈N wiederholt wird, d.h. a₁,a₂, ... , a_k , a₁ , a₂ , ... , a_k , ... und 1 ≤ a_n ≤ 9, dann  $$\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n10^{-n}$$ eine rationale Zahl ist. Finden Sie diese Zahl in Bezug auf k ∈ N und die Folge a₁,a₂,... ,a_k.

Problem/Ansatz:

Ich komme mit der Aufgabe nicht wirklich weiter. Diese Reihe ergibt doch für einen endlichen Wert von k immer eine rationale Zahl oder nicht. Inwiefern soll das hier gezeigt werden?

Comments

Es soll gezeigt werden, dass eine periodische Dezimalzahl
rational ist.
Du kannst das mit der Summenformel für eine geometrische
Reihe hinbekommlen.
Beispiel: welche rationale Zahl verbirgt sich hinter
der periodischen Dezimalzahl \(0,\bar{3}\)

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Ok ich würde jetzt also die Reihe so umformen, dass ich eine geometrische Reihe erhalte:

$$a_n \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^{n} = a_n \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{10\cdot a_n}{9}$$

Und dann für alle a_n die Teiler oder teilbar durch 9 sind ergibt sich eine rationale Zahl?

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Folge luls Vorschlag. Das ist wohl das einfachste!

Answer 1

Hallo

ja, das sollst du zeigen, Wie wandelst du denn einen periodischen Bruch in eine rationale Zahl um? Beispiel wie findest du aus $$0,\bar{1426757}=1/7$$

Hinweis nimm 10^k mal deiner Zahl, zieh einmal die Zahl ab

Gruß lul

Comments

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Ok vielen Dank.

Ich habe das jetzt mal entsprechend probiert zu verallgemeinern.

$$\sum \limits_{n=0}^{k} a_n 10^{-n} = \frac{\sum \limits_{n=0}^{k} a_n10^{-n}\cdot (10^{k}-1)}{9 \cdot\sum \limits_{n=0}^{k}10^{n-1}} = \sum \limits_{n=0}^{k} a_n10^{-n} \cdot \frac{9 \cdot\sum \limits_{n=0}^{k}10^{n-1}}{9 \cdot\sum \limits_{n=0}^{k}10^{n-1}}$$

Das erste wäre die Umrechnung der periodischen Dezimalzahl in einen Bruch und der entspricht genau der Dezimalzahl. Wäre das so ausreichend?

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Hallo

 1, ich sehe keinen Dezimalbruch,  2. am Anfang und am Ende steht dasselbe, wenn man kürzt.

3. die Summengehen nicht bis k  sondern bis oo sonst ist es ja von alleine ein Bruch mit Nenner 10^k

was kommt denn raus, wenn du die summe mit 10^k multiplizierst und dann einmal die Summe abziehst?

vielleicht machst du das mal mit 1/7 als Dezimalbruch,

(das video hab ich nicht angesehen.)

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Ich habe jetzt die Summe mit 10^k multipliziert.

$$10^{k}\cdot\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_n10^{-n} = \sum \limits_{n=1}^{k}a_n10^{n}+\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n10^{-n}$$

Dann einmal die Summe abgezogen.

$$\sum \limits_{n=1}^{k}a_n10^{n}+\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n10^{-n} -\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n10^{-n} = \sum \limits_{n=1}^{k}a_n10^{n}$$

Das wäre dann aber auch kein Bruch.