Ist der Grenzwert eine rationale Zahl?

Question

Aufgabe:

Eine Folge (a_n) rationaler Zahlen ist rekursiv definiert durch$$a_0=1,\quad a_{n+1}= \frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n},\quad n\in\mathbb{N}$$Bestimmen Sie den Grenzwert. (Sie dürfen ohne Beweis annehmen, dass die Folge kon- vergiert.) Ist der Grenzwert eine rationale Zahl?

Hey
Kann mir wer bitte zeigen, wie ich an die Aufgabe herangehe. Danke

Answer 1

Hallo,

Kann mir wer bitte zeigen, wie ich an die Aufgabe herangehe

rechne doch einfach mal ein paar Werte von \(a_n\) aus:$$\begin{array}{rr}n& a_n\\\hline 0& 1\\ 1& 1.5\\ 2& 1.416666667\\ 3& 1.414215686\\ 4& 1.414213562\\ 5& 1.414213562\\ 6& 1.414213562\\ 7& 1.414213562\\ 8& 1.414213562\end{array}$$sieht doch irgendwie konvergierend aus - oder? Weiter ist natürlich klar, dass \(a_n\) immer rational ist, da ja nichts anderes gemacht wird als Teilen und Addieren.

Aber danach war nicht gefragt! Wenn es einen Grenzwert \(g\) gibt, so muss dieser nach Einsetzen in obige Rekursiv-Formel doch wieder den Grenzwert ergeben. Also$$g = \frac{g}{2} + \frac{1}{g} \\ \implies g^2 = 2$$Da \(g\) positiv sein muss (warum?) ist \(g\) demnach \(g=\sqrt{2}\) und die Frage nach der Rationalität ist mit "Nein" zu beantworten.

Gruß Werner

Comments

Eine Bemerkung noch: wenn Du die Gleichung \(x^2-2=0\) mit dem Newton-Verfahren lösen möchtest und als Startwert \(x_0=1\) wählst, so erhältst Du$$f(x)= x^2-2 \to 0 , \quad f'(x)=2x \\x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n} \\\phantom{x_{n+1}}= \frac{x_n^2 + 2}{2x_n} \\x_{n+1}= \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}, \quad\quad x_0=1$$und dies ist nichts anderes als die Rekursions-Formel aus der Aufgabe. Und das sollte in diesem Fall zu \(x=\sqrt{2}\) konvergieren.