Aloha :)
Wir beantworten beide Fragen mit einer Rechnung, indem wir die linearen Abhängigkeiten so weit wie möglich aus den gegebenen Vektoren herausrechnen. Dazu verwenden wir elementare Spaltenoperationen mit dem Ziel, so viele Nullen wie möglich zu erhalten:
$$\begin{array}{rrrr}-S_2 & & -S_4\\\hline2 & 0 & 0 & 0\\2 & 2 & 0 & 0\\0 & 2 & 2 & 0\\0 & 0 & 2 & 2\\2 & 2 & 0 & 0\end{array}\to\begin{array}{rrrr}+S_3 & -S_3 & \\\hline2 & 0 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & 0\\-2 & 2 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 2\\0 & 2 & 0 & 0\end{array}\to\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 & \vec b_4\\\hline2 & 0 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 2\\0 & 2 & 0 & 0\end{array}$$
Mehr Nullen sind nicht mehr möglich. Es bleiben vier Basisvektoren \(\vec b_k\) übrig. Die ursprünglichen vier Vektoren sind daher linear unabhängig und spannen einen 4-dimensionalen Unterraum auf. Eine Basis dieses Unterraums bilden die Vektoren \(\vec b_k\)
