Zeigen Sie: (fn)n∈N konvergiert auf [0, 1] gleichmäßig gegen die Nullfunktion.

Question

Aufgabe:

(f_n)_n∈ℕ sei eine Folge stetiger Funktionen f_n : [0, 1] → ℝ, die auf [0, 1] punktweise gegen
die Nullfunktion konvergiert. Für jedes x ∈ [0, 1] sei außerdem die reelle Folge (f_n(x))_n∈N
monoton fallend.
Zeigen Sie: (f_n)_n∈N konvergiert auf [0, 1] gleichmäßig gegen die Nullfunktion.

Problem/Ansatz:

Wie zeigt man das?

Comments

Ein Ansätz wäre:

Wegen der Monotonie ist f_n(x) ≥ f_n+1(x)
Und deswegen sup(f_n(x)) = f₁(x)
Punktweise Konvergenz hat den Wert 0 geliefert also:
lim sup | f_n(x) - 0 | = lim sup | f_n(x) | = f₁(x)

Aber jetzt weiß ich nicht warum f₁(x) = 0 sein sollte.