Vektor Pyramide Punkt berechnen?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Eckpunkte der Grundfläche sind A(-3/-3/0), B(3/-3/0), C(3/3/0), D(-3/3/0) und Spitze S(0/0/6).

Innerhalb der Pyramide gibt es einen Punkt, dessen Abstand von der Grundfläche der Pyramide √5-mal so groß ist wie sein Abstand zu den Seitenflächen.

Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes.

Problem/Ansatz:

Ich rechne schon seit Stunden an dieser Aufgabe rum. Meine Idee war die HNF von einer der Seitenebenen durch √5 der Grundflächenebene gleichzusetzen. Der Punkt muss wahrscheinlich (0/0/t) sein. Ich brauche Hilfe!!

Answer 1

Wegen der Symmetrie brauchst du wohl wirklich nur eine Seitenfläche,

Etwa die durch CDS, da habe ich als HNF  \( E: \frac{2y+z-6}{\sqrt{5}}=0   \)

Und der gesuchte Punkt ist (0;0;t). Der hat von E den Abstand \( | \frac{t-6}{\sqrt{5}} | \)

und von der Grundfläche den Abstand |t|.

Also muss gelten \( |t| = \sqrt{5}| \frac{t-6}{\sqrt{5}} | \)  bzw.

                     \( |t| = |t-6 | \)  Also t=3.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wegen der Symmetrie der Situation liegt der gesuchte Punkt \(P\) auf der \(z\)-Achse. Der Punkt soll sich innerhalb der Pyramide befinden, also muss die \(z\)-Koordinate zwischen \(0\) und \(6\) liegen:$$P(0|0|z)\quad;\quad z\in[0;6]$$ Der Abstand dieses Punktes von der Grundfläche ist gleich seiner \(z\)-Koordinate. Dieser Abstand bzw. die \(z\)-Koordinate soll nun \(\sqrt5\)-mal so groß sein wie der Abstand \(d\) zu den Seitenflächen:$$z\stackrel!=\sqrt5\cdot d$$

Wegen der Symmetrie können wir uns irgendeine der Seitenflächen wählen, z.B. das Dreieck \(\triangle(CDS)\), weil da nicht so viele negative Zahlen in den Koordianten zu finden sind. Zur Bestimmung des Abstandes \(d\) brauchen wir einen Normalenvektor \(\vec n\) dieser Ebene:

$$\vec n=\overrightarrow{SC}\times\overrightarrow{SD}=\begin{pmatrix}3-0\\3-0\\0-6\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3-0\\3-0\\0-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\-6\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3\\3\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\36\\18\end{pmatrix}$$Zwechs einfacherer Rechnung normieren den Normalenvektor noch auf die Länge \(1\):$$\vec n^0=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$$

Den Abstand \(d\) des Punktes \(P\) zu den Seitenflächen erhalten wir, indem wir uns einen Punkt aus der Seitenfläche suchen, z.B. den Punkt \(S(0|0|6)\), diesen mit dem Punkt \(P\) verbinden und den resultierenden Vektor auf einen Normalenvektor der Ebene projezieren.

$$d=\left|\overrightarrow{SP}\cdot\vec n_0\right|=\left|\begin{pmatrix}0-0\\0-0\\z-6\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\right|=\left|\frac{z-6}{\sqrt5}\right|=\frac{6-z}{\sqrt5}$$

Aus der Forderung \((z=\sqrt5\cdot d)\) bzw. \(\left(d=\frac{z}{\sqrt5}\right)\) folgt schließlich \(z\):$$\frac{z}{\sqrt5}=d=\frac{6-z}{\sqrt5}\implies z=6-z\implies z=3$$

Der gesuchte Punkt ist also \(P(0|0|3)\).

Comments

Viel einfacher :

Durch den Punkt P wird die Pyramide in 5 Pyramiden geteilt : Eine mit der Pyramidengrundfläche G = 36 und der zu berechnenden Höhe h und vier kongruente mit den Pyramidenseitenflächen A_s = 3√45 als Grundfläche und der Höhe h/√5 .

Aus 1/3·36·6 = 1/3·36·h + 4/3·3√45·h/√5  folgt direkt h = 3.

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noch einfacher:

aus den gegebenen Koordinaten folgt sofort diese Schnittzeichnung:

In den rechtwinkligen Dreiecken ist das Verhältnis von kurzer Kathete zu Hypotenuse \(1 \div \sqrt 5\). Wenn \(h\div |PQ| = \sqrt 5 \div 1\) sein soll, so muss folglich \(|PS|=|OP|\) gelten.$$\implies h = \frac{|OS|}{2} = 3$$

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Vielen Dank für die Bestätigung meines Ergebnisses.

Mir ging es nicht darum, eine möglichst geschickte Lösung darzustellen, sondern eine, in der explizit eine Abstandsberechnung Punkt-Ebene vorkommt.

Answer 3

Hallo und Willkommen in der Mathelounge!

Ich habe die Gleichung der Ebene durch die Punkte ABS aufgestellt.

E: -2x + z = 6

P mit den Koordinaten, wie von dir vorgeschlagen (0,0,t).

Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene kannst du mit der Abstandsformel berechnen.

\( d(P ; E)=\frac{\left|n_{1} p_{1}+n_{2} p_{2}+n_{3} p_{3}-d\right|}{|\vec{n}|} \)

\(\vec{n}=\begin{pmatrix} 0\\-2\\1 \end{pmatrix}\)

\(d(P;E)=\frac{|0\cdot 0 +0\cdot (-2)+t\cdot 1-6|}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}=\frac{|t-6|}{\sqrt{5}}\)

Da t \( \sqrt{5} \) mal so groß ist:

\(\frac{|t-6|}{\sqrt{5}}=\frac{t}{\sqrt{5}}\\ |t-6|=t\\ t=3\)

Wenn Du noch Fragen hast, melde dich. Aber ich bin erst in zwei Stunden wieder online.

Gruß, Silvia