Wie gibt man eine Abbildungsvorschrift an?

Question

Aufgabe:

Die Abbildung B projiziert jeden Punkt im Raum orthogonal auf die ebene E: z = x+y

Es soll die Abbildungsvorschrift von B angegeben werden und gezeigt werden, dass B eine lineare Abbildung ist.

Problem/Ansatz:

welche Schritte muss man tätigen, um dies herauszufinden?

Answer 1

sei n der Normalenvektor einer Ebene, |n|=1

also in Deinem Fall

n_E =(1,1,0)

siehe https://www.geogebra.org/m/fdsc4t8n

\(n \, :=  \, \left( \begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right)\)

dann ist der Abstand eines Punktes (x,y,z) zur Ebene

d=(x,y,z) n

und den senkrecht zur Ebene als Lot

F≔(x,y,z)−(x,y,z) n *(n)

führt auf die matrix

\(B \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{2}&\frac{-1}{2}&0\\\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

Comments

Wie genau haben Sie von F, das senkrecht zur Ebene als Lot ist, auf die Matrix geschlossen ?

Der Schritt ist mir unklar

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... auf die ebene E: z = x+y

hieße \(n= \begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1\end{pmatrix}\) und nicht \(n=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\)$$\implies B = \underline 1 - \frac{n\cdot n^T}{n^2}=\frac13\begin{pmatrix}2& -1& 1\\ -1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{pmatrix}$$

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Dank Dir für die Richtigstellung, das z hab ich über lesen!

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Wie haben Sie n transponiert?

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die einfachere Formel ist die für F aus meinem Post, meine ich. das gibt 3 gleichungen die als matrix zu schreiben sind. mit dem richtigen normierten normalenvektor

\(F \, :=  \, \left(\frac{2}{3} \; x - \frac{1}{3} \; y + \frac{1}{3} \; z, \frac{-1}{3} \; x + \frac{2}{3} \; y + \frac{1}{3} \; z, \frac{1}{3} \; x + \frac{1}{3} \; y + \frac{2}{3} \; z \right)\)

die formel von georg nimmt bezug auf das tensor produkt von vektoren

https://www.geogebra.org/m/udvrepsx

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Wie haben Sie n transponiert?

so wie man jede Matrix transponiert:$$n= \begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1\end{pmatrix}\quad n^T = \begin{pmatrix}1& 1& -1\end{pmatrix}$$und das dyadische Produkt ist$$n\cdot n^T = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 1& -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 1& -1\\ 1& 1& -1\\ -1& -1& 1\end{pmatrix}$$