Zeigen, dass alle lineare Abbildungen eine Abbildungsvorschrift besitzen

Question

mein Hausaufgaben Partner und ich brauchen bitte eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass alle linearen Abbildungen \( T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) eine Abbildungsvorschrift der Form
\( (x, y) \mapsto(a x+b y, c x+d y) \)
mit \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \) besitzen.

Zeigen Sie weiter, dass \( T \) ein Isomorphismus ist, falls \( b c-a d \neq 0 \) ist.

Answer 1

Sei (x,y) ∈ R^2 . Und T eine lineare Abbildung von R^2 nach R^2.

Dann besitzen die Vektoren (1;0) und (0;1) jeweils ein Bild etwa

T(1;0)=(a;c) und T(0;1) = (b;d).

==>  T(x;y) = T ( x* (1;0) + y*(0;1))  wegen der Linearität

              = x*T(1;0) + y*T(0;1)

            = x*(a;c) + y*(b;d)

             = ( xa; xc ) +( yb + yd )

            = ( ax+by ;  cx + dy )  q.e.d.

Und wenn (a;c) und (b;d) linear unabhängig sind,

dann ist es Isomorphismus. Das ist genau dann der

Fall, wenn aus   x*(a;c) +y*(b;d) = (0;0) folgt x=y=0.

Sei also   x*(a;c) +y*(b;d) = (0;0)

==>  ax+by=0   und cx+dy=0  für a≠0 und c≠0

==>  ac * x + cb*y =0 und
      ac*x + ad*y = 0 
     ---------------------

==>    cb*y - ad*y = 0

        (bc-ad) * y = 0

Und wegen bc-ad≠0 folgt also y=0 und entsprechend

durch einsetzen oben auch x=0 .

Comments

vielen vielen Dank!!!