Aloha :)
zu a) Wir bestimmen die Inverse einer \(2\times2\)-Matrix explizit:$$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a' & b'\\c' & d'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}aa'+bc' & ab'+bd'\\ca'+dc' & cb'+dd'\end{pmatrix}\implies$$$$\begin{array}{c}aa'+bc'=1\\ca'+dc'=0\end{array}\implies\begin{array}{c}ad\,a'+bd\,c'=d\\bc\,a'+bd\,c'=0\end{array}\implies ad a'-bc a'=d\implies a'=\frac{d}{ad-bc}$$$$\begin{array}{c}aa'+bc'=1\\ca'+dc'=0\end{array}\implies\begin{array}{c}ac\,a'+bc\,c'=c\\ac\,a'+ad\,c'=0\end{array}\implies bcc'-adc'=c\implies c'=\frac{-c}{ad-bc}$$$$\begin{array}{c}ab'+bd'=0\\cb'+dd'=1\end{array}\implies\begin{array}{c}ad\,b'+bd\,d'=0\\bc\,b'+bd\,d'=b\end{array}\implies ad b'-bc b'=-b\implies b'=\frac{-b}{ad-bc}$$$$\begin{array}{c}ab'+bd'=0\\cb'+dd'=1\end{array}\implies\begin{array}{c}ac\,b'+bc\,d'=0\\ac\,b'+ad\,d'=a\end{array}\implies bcd'-add'=-a\implies d'=\frac{a}{ad-bc}$$Daher gilt für die Inverse:$$\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{rr}d & -b\\-c & a\end{array}\right)$$Sie ist genau dann definiert, wenn \((ad-bc\ne0)\) gilt.
zu b) Mit der Definition \((\operatorname{det}(A)=ad-bc)\) rechnest du die Gleichungen durch:$$\operatorname{det}(A^T)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{c}a & c\\b & d\end{array}\right)=ad-bc=\operatorname{det}\left(\begin{array}{c}a & b\\c & d\end{array}\right)=\operatorname{det}(A)\quad\checkmark$$
Den Determinanten-Multiplikationssatz zeigst du, indem du sowohl \(\operatorname{det}(A\cdot B)\) als auch das Produkt \(\operatorname{det}(A)\cdot\operatorname{det}(B)\) berechnest und dann zeigst, dass die beiden Ergebnisse gleich sind. Die Freude an der Berechnung möchte ich dir nicht nehmen ;)
