Stetigkeit von Funktionen mit Folgenstetigkeit

Question

Aufgabe:

Sei ƒ : ℝ → ℝ beschränkt (aber nicht notwendigerweise stetig), es gebe also eine Konstante K ∈ ℝ
mit |ƒ(x)| ≤ K für jedes x ∈ ℝ. Beweisen Sie, dass dann die Funktion h : ℝ → ℝ, h(x) := x · ƒ(x)
stetig im Punkt x₀ = 0 ist.

Hinweis: Nutzen Sie Folgenstetigkeit.

Problem/Ansatz:

Ich komm mit der Aufgabe gar nicht klar, ich finde selbst keinen Ansatz und bitte deshalb um Hilfe.

Answer 1

Nach dem Hinweis, soll man wohl so vorgehen:

Sei \((x_n)_n\) eine Nullfolge, also (alle Limiten sind für \(n\rightarrow \infty\) gemeint)

\(\lim |x_n|=0\). Dann sollen wir zeigen, dass \(\lim h(x_n)=h(\lim x_n)=h(0)=0\) ist.

Wir haben:

\(0\leq |h(x_n)|= |x_nf(x_n)|=|x_n|\cdot |f(x_n)|\leq |x_n|\cdot K\rightarrow 0\cdot K=0\) für \(n\rightarrow \infty\).

Nach dem Sandwich-Lemma (Quetsch-Lemma) folgt daher die Behauptung.