Zeigen Sie, dass der Mittelwertsatz nicht auf die Parametrisierung der Einheitskreislinie angewendet werden kann

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Standard-Parametrisierung der Einheitskreislinie, also die Kurve \( \gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit

                                                                 \( \gamma(t)=\left(\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}\right) \)

Zeigen Sie für jedes \( t \neq 0 \), dass es kein \( \tau \in \mathbb{R} \) mit

                                                                 \( \frac{\gamma(t)-\gamma(0)}{t}=\dot{\gamma}(\tau) \)

geben kann.

Hinweis: \( \quad \) Es gilt \( 2(1-\cos (t))=4 \sin ^{2}\left(\frac{t}{2}\right) \).

Problem/Ansatz:

Hey kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben wie ich hier anfangen kann?
Kann mit dem Hinweis z.B. leider auch nichts anfangen.

Answer 1

Warum schreibst du die Behauptung nicht hin? da kommt ja cos(t)-1 vor?  da benutz den Hinweis, multipliziere mit dem Nenner τ und zeige dass es keine Lösung für τ gibt.

lul

Comments

Hey danke für deine Antwort, aber ich weiß leider nicht genau was du meinst - habe die komplette Aufgabe aufgeschrieben

Was für eine Behauptung meinst du? Wo/warum muss cos(t) - 1 vor?

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Achso, jetzt weiß ich welche Beh. di meinst, wir können am Anfang ja die Gleichung

\( \frac{cos(t) - 1}{t} \) = - sin (τ)

was man dann zu

2 (1- cos (t) ) = 2 * sin (τ) * t

erweitern könnte, aber wie zeige/argumentiere ich da, dass es dafür kein τ geben kann?
(falls das auch das ist was du mit "da benutz den Hinweis, multipliziere mit dem Nenner τ" meintest)

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Hallo

du hast ja noch ne zweite Gleichung für die 2 te Komponente, die müssen beide erfüllt sein.

lul

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Dann hätten wir ja die 2 Gleichungen

2 (1- cos (t) ) = 2 * sin (τ) * t und
sin (t) = cos (τ) * t

aber ich stelle mich grad irgendwie sehr dumm an, hab es jetzt viel mit umformen oder Additionstheoremen versucht bin aber nicht weiter gekommen
und bin grad etwas verzweifelt weil ich keine Idee mehr habe bzw mir noch nicht einleuchtet wie ich den Hinweis benutzen kann/soll