Sei V ein K-Vektorraum mit dim(V)=n

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

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Aufgabe 50
Sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum mit \( \operatorname{dim}(V)=n \). Sei \( \varphi: V \rightarrow V \) eine lineare Abbildung sodass \( \varphi^{(n)}:=\underbrace{\varphi 0 \cdots \circ \varphi}_{n \text {-mal }}=0 \) und \( \varphi^{(n-1)} \neq 0 \). Sei \( x \in V \) sodass \( \varphi^{(n-1)}(x) \neq 0 \).
Zeigen Sie, dass die Familie
\( \left\{\mathrm{x}, \varphi(\mathrm{x}), \varphi^{(2)}(\mathrm{x}), \ldots, \varphi^{(n-1)}(x)\right\} \)
eine Basis von \( V \) ist.

Answer 1

Zeige, dass die Fam. linear unabhängig ist, da es n Stück sind,

ist es dann eine Basis, weil dim(V)=n.

Ansatz:  Linearkombination = 0 setzen:

\(\ a_0\mathrm{x}+a_1\varphi(\mathrm{x})+a_2 \varphi^{(2)}(\mathrm{x})+\ldots+ \varphi^{(n-1)}(x) =0\)

Dann φ^n-1 auf beiden Seiten  anwenden gibt   \( a_0\varphi^{(n-1)}(x) =0\)

weil alle anderen Summanden 0 werden.

Wegen der Vor. \( \varphi^{(n-1)}(x) \ne 0\) also a_o = 0.

Wenn man auf die Anfangsgleichung nur φ^n-2 anwendet, bleibt

\( a_0\varphi^{(n-2)}(x) +   a_1\varphi^{(n-1)}(x)=0\)

Mit der Kenntnis von ao = 0 gibt das a₁ = 0. etc.

Also sind alle Faktoren in der Linearkombination 0,

also die Fam. linear unabhängig.