Aloha :)
Wir legen den Mittelpunkt der Kugel in den Koordinatenursprung. Zur Bestimmung des Trägheitsmoments \(I_z\) um die \(z\)-Achse, brauchen wir zunächst einen Ortsvektor, der das Volumen abtastet. Wir verwenden dazu Zylinderkoordinaten:
$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[a|R]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[-\sqrt{R^2-r^2}\;;\;+\sqrt{R^2-r^2}]$$Mit dem Volumenelement \(dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\), der Dichte \(\rho(\vec r)=\rho\) und dem senkrechten Abstand \(\vec r_\perp=\vec r\) von der \(z\)-Achse können wir nun das Trägheitsmoment um die \(z\)-Achse formulieren:$$I_z=\int\limits_V\rho(\vec r)\,\vec r_\perp^{\,2}\,dV=\rho\int\limits_{r=a}^R\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z-\sqrt{R^2-r^2}}^{\sqrt{R^2-r^2}}r^2\,r\,dr\,d\varphi\,dz=2\pi\rho\int\limits_{r=a}^Rr^3\left[z\right]_{z=-\sqrt{R^2-r^2}}^{\sqrt{R^2-r^2}}\,dr$$$$\phantom{I_z}=4\pi\rho\int\limits_{r=a}^Rr^3\sqrt{R^2-r^2}\,dr$$
Das sieht fummelig aus, wir probieren mal folgende Substitution:$$u(r)\coloneqq R^2-r^2\;;\;\frac{du}{dr}=-2r\implies dr=\frac{du}{-2r}\;;\;u(a)=(R^2-a^2)\;;\;u(R)=0\leadsto$$$$I_z=4\pi\rho\int\limits_{R^2-a^2}^0\underbrace{(R^2-u)}_{=r^2}\cdot r\cdot\sqrt{u}\cdot\frac{du}{-2r}=2\pi\rho\int\limits_0^{R^2-a^2}(R^2-u)\cdot u^{\frac12}\,du$$$$\phantom{I_z}=2\pi\rho\left[R^2\,\frac{u^{\frac32}}{\frac32}-\frac{u^{\frac52}}{\frac52}\right]_0^{R^2-a^2}=2\pi\rho\sqrt{R^2-a^2}\left(\frac23R^2(R^2-a^2)-\frac25(R^2-a^2)^2\right)$$$$\phantom{I_z}=2\pi\rho(R^2-a^2)^{\frac32}\left(\frac23R^2-\frac25(R^2-a^2)\right)=2\pi\rho(R^2-a^2)^{\frac32}\left(\frac{4}{15}R^2+\frac25a^2\right)$$
Wir machen eine kurze Probe. Für \(a=0\) erhalten wir$$I_z(a=0)=\frac{8}{15}\pi\rho R^5=\frac43\pi\,R^3\rho\cdot\frac25R^2=M\cdot\frac25R^2=\frac25MR^2$$genau das Trägheitsmoment einer Vollkugel.\(\quad\checkmark\)
