Wie Häufungswerte bestimmen

Question

Aufgabe:

Häufungspunkte berechnen:

\( \left(\cos \left(\frac{2}{5} \pi n\right)\right)_{n \in \mathbb{N}} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß das es dort 3 Teil-Folgen gibt mit den Folgegliedern:

für 1/3 die Folge n aus (1,4,6,9,11,14...)

für -4/5 die Folge n aus (2,3,7,8,12,13...)

und für 1 die Folge n aus (0,5,10,15...)

Meine Frage ist nun wie ich für 1/3 und -4/5 das n passend anpasse damit ich diese Teilfolge auch als Folge darstellen kann.

Also brauche ich sozusagen eine Bijektive Funktion von (0,1,2,3,4..) nach (1,4,6,9..) und für -4/5 auch.

Hätte da jemand einen Ansatz vielleicht?

Danke

Comments

Statt 1/3 muss der Häufungswert \(\dfrac{1}{4}\cdot\left(\sqrt{5}-1\right)\) heißen und

statt -4/5 muss er \(-\dfrac{1}{4}\cdot\left(\sqrt{5}+1\right)\) lauten,

damit die Teilfolgen mit den angegeben Gliedindizes auch dagegen konvergieren.

Statt die Indizes (1, 4, 6, 9, 11,14...) zu wählen, genügt es, sich z. B. auf (1, 6, 11, 16, 21, 26,... 1+5n) zu beschränken.

Wenn die Häufungswerte nicht vorgegeben sind, könnte man auch \(-1\), \(0\) und \(1\) wählen.

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Moin darf ich Fragen wie du auf diese Beiden Häufungswerte gekommen bist?

Ich weiß gerade leider nicht, was ich damit anfangen soll und wie ich damit die Häufungswerte bestimmen soll oder eher gesagt wie ich es beweisen soll.

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Hallo! Ich habe meine Taschenrechner gefragt, der kann sowas. Vermutlich geht es auch geometrisch, ich weiß aber nicht auf Anhieb, wie.

Den letzten Satz meines Kommentars musst du nicht weiter beachten, er ist falsch. Denn wegen \(n\in\mathbb{N}\) gibt es nur die drei angegebenen Häufungswerte.

Answer 1

Die Funktion cos(x) hat die Periode 2π. Wegen \( \frac{2}{5} *π*n = 2π \) für n = 5, hat die Folge Häufungsunspunkte für (n mod 5) € {0,1,2,3,4 }

wegen \( cos(x) = cos(2π-x) \) gilt

\( cos(\frac{1}{5} *π*n ) = cos(2π*n - \frac{1}{5} *π*n) = cos(\frac{4}{2} *π*n) \),

d.h. die Häufungspunkte für n mod 1 = 0 und n mod 4 = 0 sind identisch.

gleichermaßen gilt

\( cos(\frac{2}{5} *π*n ) = cos(2π*n - \frac{2}{5} *π*n) = cos(\frac{3}{2} *π*n) \),

d.h. die Häufungspunkte für n mod 2 = 0 und n mod 3 = 0 sind identisch.

Somit hat die Folge drei Häufungspunkte für (n mod 5) € {0,1,2 }