Berechnen Sie den folgenden Term auf dem gegebenen Definitionsbereich.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den folgenden Term auf dem gegebenen Definitionsbereich.

\( \operatorname{rot} \nabla \Phi(x) \), wobei \( \Phi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) eine beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktion ist.

Problem/Ansatz:

Der Gradient einer bel. zweimal stetig diffbaren Funktion würde ja so aussehen:

\( \left(\partial_{1} \Phi(x), \partial_{2} \Phi(x), \partial_{3} \Phi(x)\right) \)

Wie kann man davon die Rotation rot bestimmen?

https://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_eines_Vektorfeldes

Comments

rot div ist doch immer Null, habe ich noch aus dem Studium in Erinnerung.

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Aber hier ist doch rot vom Gradienten von Phi (???)

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Sorry, rot grad meinte ich auch.

Answer 1

Aloha :)

\(\Phi\) ist zweimal stetig parteille differenzierbar. Daher gilt nach dem Satz von Schwarz, dass die Reihenfolge der Ableitungen 2-ter Ordnung vertauscht werden darf:$$\frac{\partial^2\Phi}{\partial x_i\partial x_k}=\frac{\partial^2\Phi}{\partial x_k\partial x_i}\quad(\ast)$$

Die Rotation eines Gradientenfeldes über eine 2-mal stetig partiell differenzierbare Funktion ist daher ist immer der Nullvektor...

$$\operatorname{grad}\Phi=\begin{pmatrix}\partial_x\Phi\\\partial_y\Phi\\\partial_z\Phi\end{pmatrix}$$$$\operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\partial_x\Phi\\\partial_y\Phi\\\partial_z\Phi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_y\partial_z\Phi-\partial_z\partial_y\Phi\\\partial_z\partial_x\Phi-\partial_x\partial_z\Phi\\\partial_x\partial_y\Phi-\partial_y\partial_x\Phi\end{pmatrix}\stackrel{(\ast)}{=}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\vec 0$$