Berechnen Sie den folgenden Term auf dem gegebenen Definitionsbereich: Laplace-Operator von log(|x|)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den folgenden Term auf dem gegebenen Definitionsbereich.

\( \Delta f(x) \), wobei \( f: \mathbb{R}^{2} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, x \mapsto \log (|x|) \);

Problem/Ansatz:

Zur Definition des Laplace Operators für eine Funktion:

Für eine zweimal partiell differenzierbare Funktion ist der Laplace-Operator \( f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) definiert ist als
\( \Delta f(x):=\operatorname{div} \nabla f(x)=\operatorname{spur} D^{2} f(x)=\sum \limits_{l=1}^{n} \partial_{l l} f(x) \)

d.h. der Laplace-Operator einer Funktion kann auch als Spur ihrer Hesse-Matrix dargestellt werden.

Mir ist klar wie ich den Laplace-Operator der obigen Funktion bestimmen soll, aber komme nicht auf die partiellen Ableitungen von f. Kann mir da Jemand weiterhelfen?

Answer 1

partielle Ableitung nach x1 ist x1 / |x|^2

und nach x2 entsprechend x2 / |x|^2

\( \partial_{1 1 } f(x) = \frac {x_2^2 - x_1^2}{|x|^4} \)  und

\( \partial_{2 2 } f(x) = \frac {x_1^2 - x_2^2}{|x|^4} \) 

Comments

Sollte das x im Betrag nicht auch entweder x_1 oder x_2 sein?

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Nein |x| =√(x1^2 + x2^2)

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Stimmt, das hab ich nicht mehr gewusst, Dankeschön :)

D.h. der Laplace Operator für dieses f ist dann schlussendlich einfach nur 0, richtig?

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Sehe ich auch so.