Kreis/Kugel Vektoren ....

Question

Text erkannt:

Hello, Ich schreibe bald eine Klausur und zwar in Mathe. Ich war für gewisse Zeit in Quarantäne und Ich habe sehr vieles verpasst. Können Sie mir bitte bei den Aufgaben helfen. Ich bedanke mich bei ihnen im Voraus

a) Nutzen Sie diese Definition, um das Zustandekommen der folgenden Kugelgleichung zu erklären und geben Sie Mittelpunkt und Radius an:
\( K:\left(x_{1}-2\right)^{2}+\left(x_{2}+1\right)^{2}+\left(x_{3}-3\right)^{2}=9 \)
b) Die Gerade \( g: x=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \) ist eine Tangente der Kugel K. Ermitteln Sie den  zugehörigen Berührpunkt.
c) Benennen Sie die beiden anderen Lagebeziehungen zwischen Kugel und Gerade und erklären Sie, wie man diese mathematisch erkennt.

Aufgabe:

Answer 1

a)

Abstand aller Punkt der Kugeloberfläche vom Kugelmittelpunkt ist der konstante Radius.

|MX| = r
|MX|² = r²
|X - M|² = r²
(x1 - m1)² + (x2 - m2)² + (x3 - m3)² = r²

b)

(r + 3 - 2)² + (2r + 1 + 1)² + (0 - 3)² = 9
(r + 1)² + (2r + 2)² + (- 3)² = 9
r^2 + 2r + 1 + 4r^2 + 8r + 4 + 9 = 9
5r^2 + 10r + 5 = 0
r^2 + 2r + 1 = 0
(r + 1)^2 = 0 → r = -1 → 2-fache Lösung und damit Berührpunkt

c)

Bei einer Passante hätte die Gleichung (x1 - m1)² + (x2 - m2)² + (x3 - m3)² = r² keine Lösung.

Bei einer Sekante hätte die Gleichung (x1 - m1)² + (x2 - m2)² + (x3 - m3)² = r² genau 2 Lösungen.

Answer 2

Hallo

was ist "diese Definition"

Der Radius ist 3, denn 3^2=9 der Mittelpunkt (2,-1,3)

setze die Gerade in die Kreisgleichung ein. also x1=3+r, x2=..., x3=0

dann hast du eine Gleichung für r, das setzt du in g ein .

c) de Gerade kann schneiden, die gerade verläuft ausserhalb.

wie fesstellen= siehe b.

Comments

Text erkannt:

\( x_{1}=3+r \)
\( x_{2}=1+2 r \)
\( x_{3}=0 \)
\( E:(3+r-2)^{2}+(1+2 r)^{2}(0-3)^{2} \)

Ich habe eingestzt aber ich weiß nicht wie man das ausrechnet

Answer 3

Von Nachfrage von Laura:

Titel: Berührpunkt Tangente an Kugel

Stichworte: vektoren,vektorraum,schnittpunkte,berührpunkt,kugel

Aufgabe:

\( K:\left(x_{1}-2\right)^{2}+\left(x_{2}+1\right)^{2}+\left(x_{3}-3\right)^{2}=9 \)

Die Gerade \( \vec{x}_{1}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \) ist eine Tangente der Kugel K. Ermitteln Sie den zugehörigen Berührpunkt.

Problem/Ansatz:

können Sie mir bitte bei der Aufgabe helfen ich versuche die ganze Zeit die Aufgabe zu lösen, jedoch klappt das nicht ich bedanke mich bei ihnen im Voraus

Comments

Ich würde die Komponentengleichungen der Geraden in die Kugelgleichung einsetzen und dann nach r auflösen.

Und dann r in die Geradengleichung einsetzen, und man hat den Berührpunkt.

Was ihc dann noch checken würde: Hat der Vektor vom Kugelmittelpunkt zum Berührpunkt die Länge 3, was der aus der Kugelgleichung abgelesene Radius ist?Steht er senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden (Skalarprodukt = 0)?

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Aloha :)

$$K\colon\;(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=9$$$$E\colon\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+r\\1+2r\\0\end{pmatrix}$$Setze die Koordinatendarstellung aus der Geraden in die der Kugel ein:$$(3+r-2)^2+(1+2r+1)^2+(0-3)^2=9\quad\big|\text{vereinfachen}$$$$(r+1)^2+4(r+1)^2+9=9\quad\big|-9$$$$5(r+1)^2=0$$$$r=-1$$

Der Berührpunkt lautet also: \(\quad B(2|-1|0)\)