<!DOCTYPE html> Lösung: Hängebrücken-Seillänge .container { max-width: 800px; margin: 20px auto; padding: 20px; font-family: Arial, sans-serif; } .section { margin-bottom: 40px; padding: 20px; background: #f8f9fa; border-radius: 8px; } .equation { margin: 15px 0; padding: 15px; background: white; border-radius: 5px; text-align: center; } .result { color: #2c3e50; font-weight: bold; margin: 15px 0; } ol { padding-left: 30px; } li { margin: 10px 0; } <!-- MathJax Integration → Lösungsweg <!-- 1. Funktionsgleichung → 1. Funktionsgleichung der Parabel
Der tiefste Punkt des Seils liegt im Ursprung \((0,0)\). Die Parabel hat die allgemeine Form: \[ y = a x^2 \] Gegeben:
- Stützweite: \( w = 1280 \, \text{m} \quad \Rightarrow \quad x = \pm 640 \, \text{m} \)
- Durchhang: \( h = 150 \, \text{m} \quad \Rightarrow \quad y(640) = 150 \)
Einsetzen des Punktes \((640, 150)\): \[ 150 = a \cdot (640)^2 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{150}{640^2} = \frac{3}{8192} \] Funktionsgleichung: \[ \boxed{y = \frac{3}{8192}x^2} \] <!-- 2. Golden Gate Bridge → 2. Länge der Tragseile (Golden Gate Bridge)
Die Länge \( L \) berechnet sich durch: \[ L = 2 \int_{0}^{640} \sqrt{1 + \left(\frac{3x}{4096}\right)^2} \, dx \] Substitution \( k = \frac{9}{16\,777\,216} \): \[ L = 2 \int_{0}^{640} \sqrt{1 + kx^2} \, dx \] Verwendung der Stammfunktion: \[ \int \sqrt{1 + kx^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{1 + kx^2} + \frac{1}{2\sqrt{k}} \sinh^{-1}\left(x\sqrt{k}\right) + C \] Berechnung der Grenzen:
- Erster Term: \[ \left. \frac{x}{2} \sqrt{1 + kx^2} \right|_{0}^{640} \approx 353.408 \]
- Zweiter Term: \[ \left. \frac{1}{2\sqrt{k}} \sinh^{-1}\left(x\sqrt{k}\right) \right|_{0}^{640} \approx 309.25 \]
Gesamtlänge: \[ L \approx 2 \cdot (353.408 + 309.25) = \boxed{1325.32 \, \text{m}} \] <!-- 3. Akashi-Kaikyo Brücke → 3. Länge der Tragseile (Akashi-Kaikyo Brücke)
Näherungsformel: \[ L \approx w + \frac{8h^2}{3w} \] Gegeben:
- Stützweite: \( w = 1991 \, \text{m} \)
- Durchhang: \( h = 216.3 \, \text{m} \)
Einsetzen: \[ L \approx 1991 + \frac{8 \cdot (216.3)^2}{3 \cdot 1991} = \boxed{2053.5 \, \text{m}} \] <!-- Zusammenfassung → Zusammenfassung
- Funktionsgleichung: \(\boxed{y = \frac{3}{8192}x^2}\)
- Golden Gate Seillänge: \(\boxed{1325.32 \, \text{m}}\)
- Akashi-Kaikyo Seillänge: \(\boxed{2053.5 \, \text{m}}\)
