Die Fibonaccifolge lässt sich wie folgt darstellen
(I) \( a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} * (λ_{1}^n - λ_{2}^n) = \frac{1}{\sqrt{5}} *( (\frac{1+\sqrt(5)}{2})^n - (\frac{1-\sqrt(5)}{2})^n) = c_{1} * λ_{1} + c_{2}* λ_{2} \)
\( λ_{1} \) und \( λ_{2} \) sind die Eigenwerte der Matrix \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \).
Der Beweis für (I) ist länglich und findet sich im Internet.
Für jedes \( a_{n} \) erhält man somit unterschiedliche \( c_{1} = \frac{1}{\sqrt{5}} λ_{1}^{n-1} \) und \( c_{2} = -\frac{1}{\sqrt{5}} λ_{2}^{n-1} \).
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Durch Induktion ist zu zeigen:
\( \begin{pmatrix} a_{n-1} & a_{n} \\ a_{n} & a_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n \)
In der Aufgabe beginnt man mit n = 1. Ohne Beschränkung beginnt die Lösung mit n = 0 und \( a_{0} =0 \), denn \( a_{2} = a_{0} + a_{1} \)
n = 1:
\( \begin{pmatrix} a_{0} & a_{1} \\ a_{1} & a_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{0} & a_{1} \\ a_{1} & (a_{0} + a_{1} ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^1 \)
n → n+1:
\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{n+1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n * \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) =
\( \begin{pmatrix} a_{n-1} & a_{n} \\ a_{n} & a_{n+1}\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) =
\( \begin{pmatrix} a_{n} & (a_{n-1} + a_{n}) \\ a_{n+1} & (a_{n} + a_{n+1})\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{n} & a_{n+1} \\ a_{n+1} & a_{n+2}\end{pmatrix} \)
